#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Решение задач — неотъемлемый элемент обучения математике, физике, химии и многим другим школьным (и не только) учебным предметам. Поэтому умение решать задачи — становится одним из приоритетных навыков, необходимых для успешной учёбы.
Сразу возникает вопрос: «Как же научиться решать задачи — ведь известно, что не существует сколь-нибудь общих методов решения задач ввиду их невообразимого разнообразия?». Известный методист Д. Пойя так ответил на этот вопрос: «Как Вы думаете, что надо, прежде всего, сделать, чтобы научиться плавать? ... Для этого, прежде всего, необходимо войти в воду! А что надо сделать, чтобы научиться решать задачи? …Надо начать их решать!»!
Чем больше задач Вы решите, тем скорее сможете найти подход к задаче нового типа, раньше не встречавшейся Вам. Начинать, разумеется, надо с простейших задач, ведь сложная задача — это подчас комбинация из нескольких простейших. При этом важно научиться обобщать уже решённые задачи, ведь подчас новая задача является не просто комбинацией уже знакомых, но и часто при этом усложнение достигается за счёт увеличения компонентов, участвующих в том или ином действии.
Простым примером подобных обобщений служат известные Вам свойства арифметических действий — например, перестановочное и сочетательное свойство сложения и умножения — их можно распространить на любое число слагаемых и сомножителей!
Ниже мы познакомимся с примерами подобных обобщений, на первый взгляд, довольно-таки, сложных выражениях с дробями, значения которых при ближайшем рассмотрении находятся достаточно просто, и даже устно!
Учимся обобщать!
Следующие задания взяты из пособия для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики »Сборник задач по по алгебре. 8-9 классы» [М.Л.Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И.Звавич. — 2-е изд. — М.: 1995].
Очевидный повод для первого обобщения!
Разность аликвотных дробей*) — это обыкновенная дробь числитель которой равен разности знаменателей вычитаемой и уменьшаемой дробей, а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей.
*) Аликвотная дробь — это обыкновенная дробь числитель которой равен 1 (единице).
Конечно, каждый следующий пример можно решить четырьмя последовательными сложениями, например:
Уже здесь можно получить обобщающую формулу для вычисления значений подобных сумм. Но не будем торопиться — это возможно значительно короче, зря, что ли мы решали примеры а) — д)?!
Заметим, что результаты примеров: а) — д) отличаются от дробей в условии примера ж) только значением числителя, который равен разности сомножителей в знаменателя каждой дроби, а это легко исправить:
(умножили на 1 = 3/3)
Обобщим полученное решение.
Тогда каждый из примеров е) — з) в общем виде можно записать следующим образом:
или даже так:
В тестовых заданиях этой формулой можно пользоваться без ссылок:
В работах, в которых требуется полный ответ (обоснованное решение) можно пользоваться решением примера ж).
Формулу
можно доказать в 9-ом классе, используя метод математической индукции, определение и формулу общего члена арифметической прогрессии. Желаю удачи!
(В статье приведены задания из «Сборника задач по алгебре для 8-9 классов», - М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич, М. 1996 год).
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Другие статьи автора:
- Математический концерт
Цикл статей "Учимся решать нестандартные задачи"
1 статья [Текущая]
2 статья