Можно сказать, что вся физика заключена в уравнениях движения: они обобщают экспериментальные данные. Есть два подхода к анализу законов движения м.т. и составлению уравнения ее движения. Первый подход заключается непосредственно в применении трех законов классической механики Ньютона и написаний уравнений движения через них, обычно в форме второго закона Ньютона, законов сохранения и граничных условий.
Другой подход заключается в составлении уравнений Лагранжа-Эйлера с использованием лагранжиана L (или в форме уравнений Гамильтона к гамильтоновой функции H (энергии)) системы. Этот метод называется вариационным. Вариационный метод - это лишь универсальный способ получать некоторые величины (а конкретно - инварианты симметрий лагранжиана), которые напрямую из уравнений движения получать трудно. Функционал действия ничего, кроме уравнений движения, не содержит.
Предположим, что материальный объект между двумя точками движется в пространстве и времени во внешнем поле с известными начальными и конечными параметрами (положение "r", скорость "v", … – возможный список) и возмущающими его движение параметрами ("j"). Также предположим, что возмущение траектории движения между ними определяется некоторым вполне определенным физическим законом. Вопрос: сколько различных траекторий может быть определено для материального объекта?
Так вот, оказывается, что между этими точками с известными (список выше) параметрами возможных траекторий может быть много – об этом, думаю, вы все догадались. Но разрешенная траектория будет удовлетворять некоторому условию. И это условие – условие минимальности некоторого параметра (T), названного "действием" между этими точками. Это условие, или метод называется принципом наименьшего действия. На языке формул это можно записать так:
Как Вы, возможно, помните еще из школы – если есть график функции, то в точке ее минимального значения она имеет почти постоянное значение. А следствием этого является равенство нулю значения так называемого в математике параметра "производная", проще – скорости изменения функции в этой точке. Про это и написано в выписанной формуле. Всякое равенство вида
называется интегралом движения. На языке, используемом физиками, принцип наименьшего действия записывается следующим образом:
На бытовом примере это условие можно может быть описано так. Вам нужно дойти от дома до работы за минимальное время. Вы из собственного знания плана вашего города, перекрестков, загруженности улиц машинами в разное время суток можете выбрать оптимальный вариант маршрута. Так вот в этой задаче "действием" "T" будет время движения по выбранному маршруту, начальными и конечными параметрами – координаты "r" вашего дома и работы, а возмущающие параметры "j "– загруженность уличного движения, работа светофором и т.д.
Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.
Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагрнжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).
Функция Лагранжа является основным математическим инструментом при построении базисной теории механистической исследовательской программы — аналитической механики. Формы лагранжианов при описании различных явлений природы, в том числе и таких, которые не объясняются законами классической механики, разумеется, разные. Однако единым является сам подход к решению проблем. Дело в том, что в теоретической физике были сформулированы законы сохранения для некоторых физических величин: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса, закон движения центра масс, закон сохранения массы и электрического заряда. Число законов сохранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в нашем столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Оказалось, что такой основой является использование лагранжева формализма.
С одной стороны, использование лагранжиана и принципа наименьшего действия в классической механике позволяет получить уравнения Эйлера - Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана классического электромагнитного поля оказываются уравнениями Максвелла. То есть использование лагранжиана в теории позволяет задавать и описывать динамику рассматриваемых систем. Однако лагранжиан обладает еще одной важной особенностью: он строится таким образом, что для данной конкретной теории оказывается инвариантным (неизменным) относительно преобразований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и являются законы сохранения.
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?