Добрый день дорогие читатели! Эта статья будет посвящена визуальному восприятию бинома Ньютона. А так-же некоторых других формул сокращённого умножения.
Для понимания что-же такое Бином Ньютона, рассмотрим следующую формулу:
Квадрат разности.
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
Такую формулу изучают ещё в школе, но давайте получше углубимся в суть этой формулы и рассмотрим рисунок который наглядно объясняет смысл этой формулы и причину её возникновения:
Рассмотрим квадрат размера а*а и вырежем из него маленький квадрат размера b*b.
Будем считать что а больше b
Что останется? Останется уголок со сторонами а*(a-b) (квадрат со стороной b вырезали).
Если мы "отрежем" от этого угла прямоугольник (см. рисунок 2), то тогда размер этого прямоугольника будет равен b*(a-b).
Затем берём этот прямоугольник, и присоединяем к уголку снизу (см. рисунок 3). От этого угол стал иметь прямоугольную форму размером
a-b*a+b.
Таким образом, получился прямоугольник размерами a-b*a+b.
=> a^2-b^2=(a-b)(a+b).
Формула, в данном случае, выведена согласно геометрическим соображениям.
Для тех, кто не верит в геометрию, напомню как выводится эта формула с помощью преобразований (см. рисунок 4).исунок 4
В тоже время, у формулы изображённой на рисунке 4 есть преимущество над геометрическим подходом, а именно в формуле (рисунок 4) не обязательно считать что а>b.
Бином ньютона.
Бином Ньютона- великий и ужасный, сводящий с ума всех студентов и старшеклассников.
Формула: (1) (a+b)^n=?
Теперь зададим себе вопрос: "Как разложить (a+b)^n в сумму одночленов?".
Давайте запишем, что формально- это произведение скобок в количестве n, где n- это произвольная.
Формула: (2) (a+b)^n=(a+b)(a+b)...(a+b)
Начнём изучения с одного случая, когда n=2, тогда:
(a+b)^2=?
Чему равно (a+b)^2? Можно вычислить алгебраически, но мы будем отмечать геометрию происходящего и на ней сфокусировать ваше внимание.
Начертим квадрат со сторонами а+b*a+b:
Теперь разобьём его стороны некоторой точкой на два отрезка длины а и длины b. Проведём вертикальную и горизонтальную линии.
Что произошло? Квадрат разбился на четыре территории, его площадь следовательно равна сумме четырёх площадей.
Теперь запишем формулу так:
(a+b)^2= a^2+2ab+b^2
Бином ньютона при n=2 получен.
Друзья, теперь без доказательства просто запишем ответ, чему равен бином ньютона.
(a+b)^n это сумма плюс одного слагаемого, то есть на единицу большего чем степень.
То что записано в рисунке абсолютно верно, но разумеется эту запись можно упростить. Понятно что а и b входит в эту формулу симметрично, то есть коэффициент при a^n-k*b^k должен быть тем-же самым, каким будет коэффициент при а^k*b^-k.
Кто эти сложные слова пока не понял, ничего страшного, они вам ещё встретятся.