С пятнадцати лет начал играть за курганский футбольный клуб «Зауралец», тогда команда из Кургана выступала во втором дивизионе чемпионатов СССР. За этот клуб он провел 53 матча в чемпионатах СССР. В 1972 году получил приглашение в «Торпедо» (Москва). За «автозаводцев» он выступал с 1972 по 1976 годы, провел в чемпионатах СССР за них 64 матча, пропустил 67 голов. В 1974 году в составе «Торпедо» он получил звание «мастер спорта СССР». За воронежский «Факел» он выступал в 1977 и 1978 годах, провел за воронежцев 63 официальных матча, пропустил в них 38 голов (отличная статистика!). 2 мая 1978 года в матче против «Балтики» в Калининграде Елизаров, отбивая удар соперника, забил мяч в противоположные ворота, защищаемые Г. Кахиани. Помог «огнеопасным» по итогам сезона 1978 года попасть в первую союзную лигу! В 1977 году он помог «Факелу» завоевать Кубок РСФСР, а в 1978 году он помог команде из столицы Черноземья завоевать звание чемпионов седьмой Спартакиады народов РСФСР! Завершал футбольную карьеру в ФК «Знамя Труда» (Орехово-Зуево). За старейший российский клуб он выступал с 1980 по 1984 годы.
В 1990-е годы занимался криминальной деятельностью. 23 июля 1999 был убит сотрудниками милиции при допросе в одном из СИЗО г. Москвы.
Анатолий Георгиевич Елизаров похоронен в Москве на Николо-Архангельском кладбище.