В этом блоге, равно как и на ютуб канале, я обучаю решать любые задачи по математике. Мой бзик - научить своих учеников доходить до решения своим умом. И в этой статье ты увидишь, какую логику я использую для решения 5 задания из реального ДВИ в МГУ 2020.
Данная статья - фактически лекция, ты получишь 100% пользы, если возьмешь ручку, тетрадь и будешь расписывать каждый шаг у себя в тетради
Поиск решения:
Как всегда геометрия начинается с чертежа. Строим сначала равнобедренный треугольник и попутно вспоминаем всё, что связано с этим. Это равенство сторон, равенство углов при основании. Ну и БМВ из вершины.
БМВ - кратко так называю биссектриса-медиана-высота
Также нам нужны будут две биссектрисы AD и CE. Биссектрисы делят углы А и С налопопам. А так так эти углы равны, то равны и их половинки. Отмечаем это на чертеже.
Еще у нас имеется свойство биссектрисы, по которому у нас получится, что
Хм, а ВС=АВ. Тогда получается, что:
Также о пересекающихся биссектрисах мы можем сказать, что точка их пересечения - центр вписанной окружности. Постойте, но у нас дальше как раз говорят о вписанной окружности! Пусть О=АD ⋂ CE, тогда О и будет центром нашей окружности) Ну и так как из В у меня выходит БМВ, то и ее я сразу проведу, так как прямой угол и деление АС пополам не будет лишним - пусть будет BF.
Дальше нам говорят о касании окружностью сторон АВ и ВС. Радиусы к касательным перпендикулярны, поэтому, чтобы получить точки К и L просто опустим перпендикуляры из О на АВ и ВС. Кстати, так как OF ⊥ АС, то F - тоже точка касания нашей окружности. Окружность строить не обязательно, так как минус - это загромождение чертежа, но есть и плюс - так легче заметить выводы, связанные с этой окружностью.
И сразу думаем, а что у нас связано с вписанной окружностью? Это все, что связано с касательными и секущими.
Стандартно замечаем отрезки касательных из одной точки для вершин А, В и С.
Тогда мы можем записать такое соотношение:
И тогда нам нужно найти DE, при известной АС=12 (мы это уже использовали) и KL=9.
Давай соберем в кучу, что мы уже накидали:
Соотношения (1) и (2) нам говорят о том, что точка D и Е делят равные АВ и ВС в одинаковом отношении, также как и точки K и L. Стандартным выводом из этого будет то, что:
Хм, а ведь нам дали KL и АС и тогда мы можем узнать коэффициент подобия треугольников BKL и BAC, тогда:
Тогда ВК - три четверти от АВ, а известный нам отрезок АК - одна четверть АВ, то есть:
Как же нам найти DE? Да ведь это основание BDE, который подобен ВАС!
Для того, чтобы найти DE, нам нужно узнать отношение, в котором D делит ВС или Е делит АВ.
А об этом мы уже говорили, упоминая свойство биссектрисы. Теперь то мы знаем и АВ и АС)
Такие соотношения стандартно можно расписать вот так:
Тогда мы можем записать:
Вот и всё)