Многие люди считают, что фраз "бесконечно много" означает что больше быть не может. Лишь некоторые просвещенные знают что бесконечность натуральных чисел меньше бесконечности вещественных чисел. Но на самом деле всё куда итереснее.
Внимание! В этой статье придется много думать!
Рассмотрим натуральные числа: 1,2,3.... Какое бы число мы не взяли, всегда есть большее его число. Казалось бы, выше головы тут не прыгнешь, а мы попробуем! Скажем, что величина с именем ω есть нечто, что больше любого натурального числа. Существует ли оно такое? Вопрос, конечно, философский, но раз мы представили - значит существует. И так, у нас есть греческая буква которая больше любого числа. Что дальше? А дальше скажем что ω+1 это нечто, что по величине больше ω. Раз мы научились прибавлять единицу, то можем пойти и дальше. По такой же логике получим ω+2, ω+3, ... ну и так далее. Но теперь то там натуральных чисел не достаточно, поэтому прибавив к ω все натуральные числа (в смысле перебрав по порядку все такие величины), мы не остановимся. Мы дойдем до величины с номером ω. То есть это будет ω+ω. Гораздо удобнее записать это как ω*2.
Давайте остановимся и поймем что мы сейчас получили. Мы поняли что бесконечностей есть много и они разные по величине. Тогда мы начали их все упорядочивать, перенумеровали все, но оказалось что их ЕЩЕ больше. И вот мы добрались до бесконечности с порядковым номером "бесконечность".
Ну что ж, пошли дальше? ω*2 + 1, это следующая на нашем пути бесконечность. Понятно что мы ненасытные и в итоге доберемся и до ω*2 + ω. Опять же легче это записать как ω*3. Уже что-то назревает, да? Давайте считать теперь не прибавляя единичку(это мы уже умеем), а скакать сразу по бесконечности номеров: ω*2, ω*3, ω*4,.... и так далее. Говоря "и так далее" мы уже понимаем, что будет за этим "далее". Верно! Будет ω*ω, то есть ω в квадрате. Думаю, уже трудно представить что это за величина и насколько она несоизмерима с тем что мы знаем! Однако, мы пойдем ЕЩЕ дальше. Когда мы научились возводить ω в степень, то опять же натуральных степеней нам не хватит, так что мы дойдем до ω^ω.