Ахнуть не успеешь! С Бали о ДВИ в МГУ 31.07.2020 по математике. Часть 3

Предварительное знание того, что хочешь сделать, дает смелость и легкость. Дени Дидро

Ну а мы разберем, как, зная простейшие алгоритмы для неравенств, легко решить 4 задание из реального ДВИ в МГУ за 2020 г.

Логарифмическое неравенство. А значит смотрим на основания: 2x и 4х. На произведение в основании нет формул, поэтому оставлять эти основания не очень хочется. Но если посмотреть внутрь логарифмов, можно легко увидеть, что 8 и 16 - степени двойки. Так мы можем быстренько привести эти логи к основанию 2.

Избавились от степеней внутри логарифмов.

При использовании формулы смены оснований ограничения на х не меняются, поэтому эту формулу можно использовать всегда)

Ну а теперь у нас произведение внутри логов, причем множители будут 2 и 4, от которых легко взять логарифм по основанию 2.

Произведение внутри преобразовали в сумму логов.

Тут большинство из вас уже легко решит, заменяя лог. Но мало кто догадается заменить лог+1. А ведь в таком случае неравенство получится намного проще)

При замене всегда нужно посмотреть есть ли ограничения на новой переменной t. У нас нет функций, которые ограничивают t. Поэтому ничего и не пишем)

Дальше решаем стандартное дробно-рациональное неравенство.

Привели к одной дроби

Домножили на -1.

Разложили на скобки и решили неравенство относительно t.

Теперь нам нужно вернуться к х:

Ну а здесь уже простейшие логарифмические неравенства.

Решаем каждое неравенство и объединяем решения, чтобы записать ответ.

Вот так просто решалось данное неравенство)

Оформление:

Видеоразбор