Решить задачу и получить миллион долларов.

Хотите заработать миллион долларов? Не ищете лёгких путей?
Добро пожаловать в математику.

Хоть начало статьи и похоже на неудачную попытку прорекламировать очередной финансовый вебинар, речь здесь совсем о другом.

Есть несколько задач, которые так нужно решить, что их аж выделили в отдельный список. И назвали этот список «Задачи тысячелетия».

В 2000 году Математический институт Клэя опубликовал список из семи задач:

• Равенство классов P и NP.
• Гипотеза Ходжа.
• Гипотеза Пуанкаре.
• Гипотеза Римана.
• Решение уравнений квантовой теории Янга — Миллса.
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса.
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера.

За решение каждой из этих задач предлагается один миллион (!) долларов. Так что, чтобы заработать денег, вам нужно выбрать какую-нибудь из областей математики, немножко поучиться и решить одну из этих задач.

Посмотрим на некоторые из них.

Равенство классов P и NP.

Согласитесь, что какие-то задачи решить легко, а какие-то не совсем? Как раз-таки в этом и состоит задача.
Программисты и математики решили разные задачи раскладывать полочкам: где «посложнее», где «полегче». Но не всё так просто.
Полочки в нашем случае – так называемые классы сложности. Мы сейчас посмотрим на классы P и NP.

Класс P содержит в себе задачи, которые можно решить относительно «быстро». Например, умножение чисел или сортировка имён и фамилий по алфавиту. Компьютер решает такие задачи очень-очень быстро.

Такое выражение мы можем посчитать даже в уме.

Класс NP содержит в себе задачи, решение к которым проверяется относительно «быстро». Например, судоку.
Судоку решить самому довольно сложно, но если вам дадут уже заполненные клетки, вы намного быстрее проверите правильность ответа.

Проверить, подходит ли решение, намного проще, чем решить судоку самому. Оригинал изображения: medium.com.

Важно понять, что, когда мы ищем решение, мы в голове создаём своего рода алгоритм (определённый порядок действий). Поэтому, когда говорится о «быстром» или «медленном» решении какой-то задачи, имеется в виду, что этим занимается компьютер.

Судоку 9x9 современный компьютер решает меньше, чем за секунду, а вот если размер увеличить, то время, затраченное на решение, также увеличивается, причём очень сильно. Это и относит судоку к классу задач NP.

Очевидно (самое страшное слово в математике), что все задачи класса P попадают и в класс NP. Ведь решение к «простым» задачам так же очень быстро проверяется.
Наконец, мы подходим к самой задаче: равны ли классы P и NP? Иными словами,

Если можно быстро проверить решение задачи, то можно ли быстро найти это решение?

Сразу возникает вопрос: и что, если можно? Однако из всех задач тысячелетия эта – самая прикладная.

Большинство задач в нашей с вами жизни относятся к классу NP: оптимизация (вопрос о том, как добраться из одной точки города в другую наикратчайшим путём), шифрование данных (от личных переписок до сетевых протоколов, которыми пользуются банки), искусственный интеллект.

Если мы всё-таки поставим между P и NP знак равенства, то для всех областей из предыдущего абзаца можно будет найти быстрые алгоритмы. Это значит, что можно будет за очень короткий промежуток времени решить, где нужна новая автодорога, когда вылетать следующему самолёту, каких рабочих определить на какой проект.

Но также можно будет найти такой алгоритм, который подвергнет опасности зашифрованные данные, будь то ваши личные сообщения в мессенджере или, утрировано, ваша банковская карта.

Но не всё так плохо. Знак равенства означает лишь то, что такие программы возможно написать. А ведь их ещё придумать надо.

Так что мир не обрушится в миг, когда задача будет решена, не волнуйтесь. Но всей мировой экономике придётся искать методы защиты получше, чтобы обезопасить себя на всякий случай.

Но вообще в математике считают, что эти два класса не равны, просто этому ещё нет доказательства.

Такой вот, «лёгкий» способ заработать денег.

Посмотрим на ещё одну, на этот раз уже решённую задачу.

Гипотеза Пуанкаре.

Эта гипотеза связана с областью математики, которая называется топология.
В топологии изучают свойства объектов, которые можно непрерывно изменять (растягивать, увеличивать, уменьшать, но не делать разрезы и дырки), но не смотрят при этом на их размеры.
Знаменитый анекдот про математику: математик не видит разницы между кружкой и бубликом. Догадаетесь почему?

Всё просто. Представим, что у нас есть кружка, сделанная из очень пластичного материала. Мы можем, не делая разрезов и дырок, но растягивая сам материал, превратить кружку в бублик. Вот так:

Самая популярное изображение того, как кружка превращается в бублик (тор) и наоборот.

Математики называют это гомеоморфизм. Иными словами, с точки зрения топологии эти объекты имеют одну форму. Говорят, что кружка гомеоморфна бублику (а если точнее – тору).

А вот из баскетбольного мяча таким образом бублик сделать не получится. Ну, только если у вас есть сквозная дырка в мяче. В этом случае лучше просто купить новый мяч.

Математики часто говорят о таком понятии, как размерность пространства. Что такое пространство, мы примерно понимаем. Двумерное пространство – это, например, поверхность листка бумаги. А живём мы с вами в трёхмерном пространстве.

В топологии изучаются такие объекты как многообразия: объекты, которые, если посмотреть на них очень близко (будто вы оказались муравьём, ползающим по ним), похожи на какое-то пространство.

Если эти объекты вблизи похоже на наше с вами трёхмерное пространство, то называть мы их будем трёхмерным многообразиями. Эти объекты находятся в четырёхмерном пространстве.

Пример двумерного многообразия: поверхность Боя.

Гипотеза Пуанкаре формулируется так:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Мы, конечно, слов «многообразие» и «гомеоморфно» больше не боимся (ну только если чуть-чуть), но вот с остальным надо разобраться. Естественно, придётся немного упростить.

Односвязным многообразие называется, грубо говоря, если в нём нет сквозных дырок.

Компактным мы зовём многообразие, если, будучи на нём очень маленьким муравьём (такое сравнение часто используется), мы не можем убежать «в бесконечность». Прямая, например, не компактная, ведь она уходит в бесконечность. А вот если прямую «согнуть» в окружность, то мы получим компактность. Это сложное понятие трудно объяснить простыми словами, но этого должно быть достаточно.

Трёхмерная сфера – это сфера в четырёхмерном пространстве. Название, конечно, намекает об обратном, но здесь та же история, что и с многообразиями – эта сфера похожа на «нашу» сферу, поэтому она трёхмерная.

Немного... абстрактно, не правда ли? Но такова природа чистой математики – математики ради математики.

Утрируя: гипотеза спрашивает: можно ли цельный объект без дырок в четырёхмерном пространстве превратить в сферу в четырёхмерном пространстве, не делая при этом никаких разрывов и разрезов?

Гипотезу Пуанкаре в 2006 году доказал Григорий Перельман. Его работу долго рассматривали и подтверждали, но в 2010 году институт Клэя присудил Грише миллион долларов.

Григорий Перельман на одной из своих лекций, посвящённых доказательству гипотезы Пуанкаре.

Перельман отказался.

Конечно, не без причин.
Доказательство Перельмана опиралось на теорию американского математика Гамильтона, так что Григорий хотел, чтобы и Гамильтону тоже досталась премия, но институт Клэя ему отказал.
Отношение математического общества Грише не понравилось, так что он отвернулся от всех медалей, премий и наград и уехал домой в Петербург.

Не каждый бы из нас смог отказаться, но, похоже, для Григория математика и честь превыше всяких богатств.

О других задачах тысячелетия можно найти материал в интернете, а самая популярная из них – гипотеза Римана. О ней написано много всего и, главное, на понятном языке. Её некоторые даже называют новой великой теоремой Ферма.


Надеюсь, что вам понравилось. Подписывайтесь на канал, чтобы увидеть больше, оставляйте свои пожелания и критику в комментариях.