Евгений Моргунов родился в Москве 27 апреля 1927 года. Отец ушел из семьи, когда сыну не было и двух лет, и матери пришлось в одиночку воспитывать мальчика. Евгений с детства увлекался поэзией и музыкой, однако его творческие планы перечеркнула Великая Отечественная война: в 14 лет он устроился на завод, где вытачивал болванки для снарядов. В это нелегкое время семья Моргуновых жила бедно, часто голодала. Однажды мать Евгения принесла пачку масла, и голодный подросток съел ее всю, без хлеба. Ему тут же стало плохо, это происшествие нарушило обмен веществ и позже привело к развитию диабета.
В 1943 году он написал письмо Сталину, в котором просил зачислить его в театральное училище. На письмо пришёл ответ, и его действительно зачислили в училище при театре Таирова, однако он проучился там всего год и перевёлся во ВГИК на актёрский факультет к Сергею Герасимов.
Интересный факт:
Моргунов, Никулин и Вицин ругались из-за того что у Моргунова ганорар был меньше чем у остальных.
Скончался 25 июня 1999 года в московской Центральной клинической больнице от второго инсульта, незадолго до этого в июне 1998 года в автокатастрофе погиб его 26-летний сын Николай. Оба похоронены в Москве на Кунцевском кладбище.