Борис родился 27 ноября 1953 года в Ленинграде. Его назвали в честь отца. Корни семьи саратовские, волна староверов попала в город еще в девятнадцатом веке. Дедушка Александр был начальником Балтехфлота и в Великую Отечественную войну имел отношение к прокладке Дороги жизни через Ладогу. Его именем даже был назван теплоход во Владивостоке. Бабушка, Екатерина Васильевна, пережив вместе с дочерью блокаду Ленинграда, жила вместе с ними. У Бориса есть младший на 16 лет брат по отцу, Александр, ныне музыкант рок-групп «КРОМЕ» и «Andrew & Company». В передаче «Ты не поверишь» Александр рассказал, что отец умер, когда ему было 5 лет, и о родстве с лидером «Аквариума», которым он заслушивался с детства, узнал лишь в 18 лет. По воспоминаниям Бориса Гребенщикова, его бабушка очень трепетно относилась к творческой свободе внука и, несмотря на то, что всегда сопровождала его в прогулках по большому двору, передала мальчику свой стиль игры на гитаре. Боря мечтал иметь свой собственный инструме