#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Здравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа!
После многочисленных отзывов и комментариев к статье «Умножение — мучение, или «русский» способ умножения от Перельмана, который вы не знали» я решила написать к ней продолжение. В комментариях наши читатели рассказывали о быстрых способах умножения, которые применяют сами, за что — огромное спасибо! В этой статье я предложу вам ещё несколько приёмов, которые можно применить для быстрого умножения чисел.
1. Алгебраические преобразования
Пример 1. Выполним умножение чисел 19×17
Представим число 19 = 20 – 1 и выполним умножение, раскрыв скобки:
(20 – 1) × 17 = 20×17 – 1×17 = 340 – 17 = 323
Можно и так:
19 × 17 = 19 × (10 + 7) = 19 × 10 + 19 × 7, но так сложнее, сами видите
Пример 2. Выполним умножение чисел 93×34
Представим число 93, как 93 = 100 – 10 + 3 и выполним умножение, раскрыв скобки:
(100 – 10 + 3) × 34 = 100 × 34 – 10 × 34 + 3 × 34 = 3400 – 340 +102 = 3162.
Как видите, умножение двузначных чисел выполняется практически устно.
Здесь мы применили распределительный закон умножения относительно сложения (вычитания):
(a + b)c = ac + bc
(a – b)c = ac – bc
Способ вычисления взят опять же у Перельмана Я.И. «Занимательная алгебра». — 1955 год (очень занимательная книга, тем, кто не читал — советую!).
Пример 3. Вычислить
988 × 988 = (988 + 12) × (988 – 12) + 12 × 12 = 1000 × 976 + 144 = 976000 + 144 = 976144
Легко сообразить, что в этом случае мы пользуемся формулой сокращённого умножения
и следующими алгебраическими преобразованиями:
В математике часто применяется этот способ: вычесть и прибавить одно и то же число, тем самым, исходное число не меняется.
Для удобства вычислений мы вычли и прибавили 12 в квадрате, т.е. 144, чтобы использовать при вычислении умножение на 1000.
Пример 4. Вычислить 986 × 997
Вычисляется это так: 986 × 997 = (986 – 3) × 1000 + 3 × 14 = 983 000 + 42 = 983 042
Почему так?
Как видите сами, числу 986 до 1000 не хватает 14, а числу 997 — 3. Представим исходное произведение, как
(1000 – 14) × (1000 – 3) =
Раскроем скобки и выполним следующие преобразования:
= 1000 × 1000 – 1000 × 14 – 1000 × 3 + 14 × 3 = 1000 (1000 – 14 – 3) + 14 × 3 = 1000 × (986 – 3) + 14 × 3
Разберитесь с этим правилом, и попробуйте сами решить следующий пример:
987 × 995 = ????
(Ответ должен получиться 982 065)
2. Правило быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5, состоит в том:
- умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.
35 × 35= 1225, (3 × 4 = 12 и приписываем 25);
65 × 65 = 4225, (6 × 7 = 42 и приписываем 25);
75 × 75 = 5625 (7 × 8 = 56 и 25).
Данный способ основан на следующем: если число десятков обозначить за a, то всё число записывается: 10a + 5, возведём его в квадрат в таком виде, применив формулу сокращённого умножения:
Выражение a (a +1) — это и есть произведение числа десятков на ближайшее большее число. Умножить это число на 100 и прибавить 25 — всё равно, что приписать к числу 25.
3. Особенности перемножения чисел, оканчивающихся на 1, 5, 6, 25 и 76
Вероятно, все помнят, что при перемножении чисел, оканчивающихся на 1 или 5, получается число, оканчивающееся той же цифрой.
Так вот то же правило работает и с 6, 25 и 76
Например:
А может кто-то из читателей расскажет в комментариях ещё интересный способ умножения?
Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль