А ты сечёшь, как правильно строить любые сечения фигур и как находить как эти сечения делят отрезки? А ведь это стандартная задача частенько встречается в профиле ЕГЭ. В этом же году эта задача попала в реальный ДВИ в МГУ по математике. Давай посмотрим, как легко было решать, зная четкие алгоритмы решения, ну и научишься наконец-то щелкать такое как орешки)
Данная статья - фактически лекция, ты получишь 100% пользы, если возьмешь ручку, тетрадь и будешь расписывать каждый шаг у себя в тетради
Поиск решения
Во-первых, нам не сказали прямая это призма или нет, поэтому решать следует в общем виде - то есть чертим нашу призму наклонной.
Дальше нам нужно начертить диагонали АВ', ВС' и СА', а потом отметить на них точки D, E и F. При этом так как точка D делит АВ' пополам, то D - точка пересечения диагоналей параллелограмма АА'В'В принадлежит диагонали А'В и делит её пополам.
Нам нужно узнать как плоскость DEF поделит ребро АА'.
Такой тип задач решается попутно с построением сечения. Собственно, давай этим и займемся.
- Для начала я выберу точки D и F. D лежит на A'B, а F - на СА'. Тогда DF ∈ плоскости А'ВС.
- Точка Е лежит в плоскости ВВ'С'С.
- ВС - прямая пересечения плоскостей А'ВС и ВВ'С'С.
- Пересекаем ВС и DF. Пусть Т= ВС⋂DF. Тогда Т ∈ ВС ∈ ВВ'С'С и Т ∈ DF ∈ DEF. То есть Т - новая точка нашей плоскости DEF! А теперь у нас есть две точки из DEF, которые лежат в ВВ'С'С - это Е и Т. Тогда вся прямая ЕT ∈ DEF. И ЕT - отрезок нашего сечения)
5. НО! Чертя сечение нужно сразу же понять. где находится эта точка Т. То ест узнать чему равно СТ или как точка С делит ВТ. Точку Т мы получили пересекая ВС и DF, а обе эти прямые лежат в плоскости А'ВС, то есть мы до этого работали в плоскости А'ВС. Поэтому начертим именно эту плоскость и найдем нужное нам соотношение.
Ну а тут, обратив внимание на то, что мы знаем как D и F делит отрезки А'В и A'С, легко заметить теорему Менелая для Δ А'ВС и секущей DT.
Если ты не знаком(а) с этой теоремой, то тут рассказываю как просто её запомнить.
Так мы нашли, что ВТ=3 ⋅ СТ, тогда если СТ=а, то ВС=2а.
6. Ну а теперь соединяем F и Т в плоскости ВВ'С'С. Пусть К делит СС', а L - делит ВВ'.
7. Ну а дальше у нас L и D соединим в плоскости АА'В'В и точки K и F соединим в плоскости АА'С'С. KF и LD должны пересечься с АА' в одной точке - пусть М. Это свидетельствует, что мы верно построили сечение нашей призмы плоскостью DEF. Тогда KLM - сечение призмы плоскостью DEF.
Теперь мы понимаем, что нам нужно найти отношение АМ к А'М. Это соотношение можно получить зная как К делит СС' через плоскость АА'С'С или зная, как L делит ВВ' через плоскость АА'В'В.
8. Поэтому вернемся в плоскость ВВ'С'С, чтобы найти как K или L делит ребра.
9. Здесь опять мы знаем два соотношения и применим теорему Менелая для Δ С'ВС и секущей ЕT.
10. Ну а теперь переходим в плоскость АА'С'С.
Вот и вся задача!