Задача действительно сложная, так как она из задачника Иродова (№2.72), но не для тех кто хорошо знает физику вообще и электростатику в частности.
Задача № 2.72. Точечный заряд q = 3,4 нКл находится на расстоянии r = 2,5 см от центра O незаряженного сферического слоя проводника, радиусы которого R1 = 5 см и R2 = 8 см. Найти потенциал в точке O.
Решение задачи довольно очевидно: на внешней и внутренней поверхности проводника индуцируются заряды q и –q соответственно. С потенциалом заряда на наружной поверхности всё ясно: он создаёт такое же поле, как точечный заряд q в центре сферы при R>R2, а внутри сферы радиусом R2 его поле равно нулю. Поэтому его потенциал легко вычислить по формуле q/(4·π·ε0·R2). Потенциал самого точечного заряда q также легко найти: q/(4·π·ε0·r). А вот потенциал заряда, индуцированного на внутренней поверхности проводника, на первый взгляд найти очень сложно, так как внутри сферы радиуса R1 этот заряд создаёт какое-то поле, которое довольно сложно описать формулами... Хотя снаружи сферы радиуса R1 этот заряд создаёт поле, которое очень легко описать, особенно словами: это поле в точности равно по величине полю, создаваемому точечным зарядом q, но противоположно по знаку (то есть равно полю, создаваемому зарядом –q в той же точке). Именно поэтому внутри проводника нет электрического поля! Силовые линии поля зарядов, индуцированных на внутренней поверхности, в общем случае даже не перпендикулярны этой поверхности (за исключением двух точек на оси симметрии). Хотя в сумме с полем точечного заряда силовые линии всё-таки перпендикулярны этой поверхности, так как с противоположной стороны, в проводнике, электрического поля нет! По форме силовые линии суммарного поля не являются даже окружностями! Окружностями они были бы в случае если вместо шара был бы цилиндр, а заряд был бы не точечным, а линейным равномерно распределённым по соответствующей прямой, параллельной оси цилиндра.
Но оказывается, что залезать в такие дебри не нужно, если вспомнить формулу, по которой находится потенциал любой системы зарядов (суммирование или интегрирование). В данном случае под знаком интеграла расстояние от всех индуцированных зарядов до точки O равно R1, и поэтому его можно вынести из-под знака интеграла. Так же можно вынести коэффициент 1/(4·π·ε0), то есть мы выносим весь знаменатель q/(4·π·ε0·R1), и под знаком интеграла остаётся только поверхностная плотность индуцированного заряда. А интеграл от неё равен самому заряду, то есть –q. Таким образом, суммарный потенциал получается равным q/(4·π·ε0)·(1/R1 –1/R2 + 1/r). Вычисления приведены на рисунке ниже.
Смотри также: "Какая температура в космосе?", "Чему равен радиус электрона?", "На первый взгляд очень сложная задача по электростатике", "Как складывать приближённые числа?", "Несобственный неберущийся интеграл иногда очень легко вычисляется!", "Материально ли электромагнитное поле? А гравитационное?", "Расчёт полей в разветвлённом магнитопроводе с учётом кривой намагничивания", "Сравниваем онлайн калькуляторы интегралов", "Сравниваем онлайн переводчики", "Что такое обобщённые функции?", "Что такое радиус сходимости степенного ряда? Визуализация радиуса сходимости в приложении MathCAD", "Вольт-амперная характеристика несамостоятельного разряда в газах", "Дифракция Френеля на щели: самая сложная задача по физике, которую я решал", "Странная задача: вычислить время пуска двигателя (даже не сказано какого!)", "Расщепление уровней в квантовой механике. Одномерная задача", "Материальны ли волны де Бройля? Редукция волновой функции при поглощении частицы", "", "", "", "", "", "", "", "", "Почему все такие тупые? Часть 1. Немецкий профессор Зигфрид Ауст (книга Погода из серии «Что есть что?»)", "Почему все такие тупые? Часть 2. Суров, Вихарев, Долгова, Барабанов. Задачник по гидравлике для студентов АЛТИ (АГТУ, САФУ)", "Почему все такие тупые? Часть 3. Ляпсусы в задачниках по физике.", "Почему все такие тупые? Часть 4", "Почему все такие тупые? Часть 5",
Не забываем лайкать и подписываться! Комментарии приветствуются (но только по теме)!
Ваш 数学老师 shùxué lǎoshī — шусюе лаоши (учитель математики)
物理学老师 wùlǐxué lǎoshī — улисюе лаоши (учитель физики)
热工程老师 règōngchéng lǎoshī — жегончен лаоши (учитель теплотехники)
水力学老师 shuǐlìxué lǎoshī — шўэйлисюе лаоши (учитель гидравлики)
金属科学老师 jīnshǔkēxué lǎoshī — циншукёсюе лаоши (учитель металловедения)
电子老师 diànzǐ lǎoshī (учитель электротехники)
电气老师 diànqì lǎoshī (учитель электроники)
液压系统老师 yèyā xìtǒng lǎoshī (учитель машиностроительной гидравлики)
材料强度老师 Cáiliào qiángdù lǎoshī — цхайляо цьенду лаошы (учитель сопромата)
机器和机制理论老师 Jīqì hé jīzhì lǐlùn lǎoshī — тьцици хё тьциджы лилуэн лаошы (учитель ТММ — теории машин и механизмов)
俄语老师 эю лаоши (учитель русского языка)