Роспотребнадзор рекомендует считать коэффициент распространения для случая нового коронавируса (covid-19) следующим образом: сумма чисел больных, зарегистрированных в субъекте Федерации (либо по России в целом), за последние 4 суток, делится на сумму чисел больных, зарегистрированных в субъекте за предыдущие 4 суток.
Считается, что коэффициент распространения R - это среднее количество людей, инфицированных одним больным до его изоляции. Поясним методику расчетом R на сегодня, 28 июля. Ниже табличка с числом диагностированных за последние 8 дней.
Суммируем число положительных диагнозов за последние 4 дня (зеленые поля):
5395+5635+5765+5871=22666
Суммируем число положительных диагнозов за предыдущие 4 дня (оранжевые поля):
5811+5848+5862+5842=23363
Делим первую сумму на вторую и получаем коэффициент распространения
R=22666/23363=0,97
На рисунке под заголовком представлена схема распространения инфекции при коэффициенте распространения 2: нулевой пациент заражает за время, называемое инфекционных периодом, двух человек, каждый из вновь зараженных за последующий инфекционный период заражает еще двух, в итоге зараженных уже оказывается 4, и т.д.
Легко видеть, что при коэффициенте распространения, большем 1, инфекция распространяется, при R=1 число зараженных не меняется (заболевает ровно столько, сколько изолируется), и лишь при меньшем 1 коэффициенте наблюдается спад инфекции.
Сегодняшнее значение 0,97 по России в целом свидетельствует о незначительном спаде. Во всяком случае, Роспотребнадзор рекомендует вводить некоторые послабления режима (переход ко II этапу) лишь при меньшем 0,8 коэффициенте. Россия большая, субъектов много, в настоящее время в некоторых субъектах этот коэффициент достаточно мал, в некоторых все еще превышает 1.
Из формулы Роспотребнадзора вытекает, что инфекционный период для ковид-19 принят равным 4 дням. Это значение не может быть установлено совершенно точно, зависит от инкубационного периода, который для нового коронавируса составляет от 1 до 14 дней, и в среднем равен 5 дням.
Но это и не критично, ошибка в значении инфекционного периода незначительно сказывается на значении R при наиболее важных для принятия решений близких к 1 значениях.
Гораздо важнее то, что коэффициент распространения рассчитывается с точностью до 2 знаков после запятой (эти значения объявляются ежедневно по центральным каналам), и значимыми представляются разница в несколько сотых, достижением может быть объявлено снижение с 0,98 до 0,96. Хотя в расчет по рекомендованной методике вносится гораздо большая погрешность, что постараемся ниже пояснить, на примере самого многочисленного по числу жителей субъекта Федерации, города Москва.
Дело в том, что диагностика заболеваний подвержена воздействию недельного цикла. Недельный цикл - один из самых важных хозяйственно-культурных циклов, ему подвержено количество людских контактов, а тем самым и заражений. Если бы инфекционный период (заложенный в формулу вычисления коэффициента распространения), равнялся 7 дням или был кратен этому числу, в числителе и знаменателе формулы расчета R суммировались бы числа диагнозов за целое число недель, и влияние недельного цикла бы не чувствовалось.
А значение инфекционного периода 4 дня, близкое к половине недели - наихудшее по влиянию на точность R значение, ниже приведена гистограмма (столбчатая диаграмма) отклонений числа диагностированных больных по дням недели от тенденции в процентах (усреднение за последние 16 недель).
Поскольку данные приведены за следующий за отчетным день, из гистограммы следует, что больше всего диагностируется больных в понедельник и субботу, меньше всего во вторник и среду.
А теперь представьте, что подсчитывается коэффициент распространения за воскресенье, когда суммируется число диагнозов за вторник, понедельник, воскресенье и субботу (все отклонения в плюс от тренда) и делятся на сумму за пятницу, четверг, среду и вторник (когда отклонения преимущественно в минус). Ясно ведь, что R значительно отклонится вверх от тренда, и аналогично, значительно отклонится вниз от тренда при вычислении за пятницу и субботу.
При этом эти отклонения будут порождать ложные иллюзии и ложные тревоги, поясним сказанное графиком ниже, где приведены значения коэффициента распространения с 8 апреля по настоящее время по Москве.
Обратите внимание, что вертикальные линии сетки проведены через 7 дней, по вторникам. И именно в эти дни (случайные отклонения на 1 день влево или вправо) наблюдаются пики коэффициента, что не имеет никакого отношения к реальной картине.
Также обратите внимание, сколько раз значение коэффициента пересекает критическую для принятия решения отметку 0,8, не менее 11 раз за весь период отображения.
Также, уйдя вниз ниже отметки 1 после 11 мая, значение несколько раз приближается к 1, даже пересекает отметку с 1 по 3 июня, затем с 13 по 15 июля, и с 21 июля по настоящее время; вполне закономерен вопрос, насколько значимы эти отметки, следовало ли с ними считаться, и как устранить данную неприятность?
Сумма значений за последние 4 дня - это учетверенное значение среднего арифметического значения, отнесенное к среднему между 1-м и 4-м днями с конца отсчета, т.е. условно отнесенное среднее за 2,5 дня до текущего дня.
Сумма значений за предыдущие 4 дня - учетверенное значение среднего арифметического значения, отнесенное к среднему между 5-м и 8-м днями с конца отсчета, т.е. условно отнесенное среднее за 6,5 дней до текущего дня.
Отсюда проясняется смысл коэффициента распространения по методике Роспотребнадзора - это отношение сглаженных с окном 4 значений, разнесенных на 4 дня.
Чтобы устранить недельный цикл, усреднять следует за 7 дней (чтобы устранить недельный цикл), сохраняя разнесение на 4 дня (исходя из сохранения инфекционного периода в 4 дня). Отсюда формула:
где X1-X11 – число зарегистрированных больных в субъекте за соответствующие сутки. В отличие от нынешней методики, где для вычисления R требуется 8 последних значений, вычисления по предложенной выше формуле требуют 11 последних значений.
Ниже, для сравнения, на одном графике нанесены (тонкой синей линией) значения, вычисленные так, как принято считать ныне, а толстой красной линией - как предложено выше.
Все преимущества налицо - отсутствуют "провокационные" пересечения критических отметок 1 и 0,8, по графику можно судить о реальном поведении инфекции в рассматриваемом субъекте.
Так, налицо стабильное, начиная с конца июня, повышение коэффициента распространения до нынешнего 1,08; также следует, что значение 0,8 в июне не достигалось никогда, т.е. условие Роспотребнадзора по переходу ко II этапу снятия ограничений так и не было достигнуто, хотя формально по утвержденной методике минимальное значение 0,76 фиксировалось 12 июня.