Задача. Для 10 петушков леггорнов 15-дневного возраста были получены следующие данные о весе их тела X(г) и весе гребня Y(мг):
Требуется:
1) найти коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении линейной корреляционной связи между признаками;
2) составить уравнение прямой регрессии;
3) нанести на чертеже исходные данные и построить полученную прямую регрессии.
Решение.
1) В малых выборках коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
Промежуточные вычисления удобно проводить в таблице 1, располагая X(г) - вес тела петушка в порядке возрастания.
Вычисляем средние:
Заполняем столбцы таблицы. Суммируя элементы в столбцах, находим:
Подставляя вычисленные значения в формулу для r, получаем
Вывод: между весом тела X и весом гребня Y у 15 – дневных петушков существует тесная положительная линейная корреляционная связь.
2) Уравнение прямой регрессии имеет вид:
Беря данные из таблицы, получим:
Подставляя теперь в уравнение прямой регрессии
Будем иметь
Последнее уравнение преобразуем к виду
3) Нанесем исходные данные на координатную плоскость и построим найденную прямую регрессии (рис. 1).
Для того чтобы провести прямую в системе координат, достаточно иметь две точки.
Одна точка M1(83; 60).
Координаты второй точки M2 определим, подставив в уравнение регрессии y=0 и вычислив
Полученная математическая модель (уравнение прямой регрессии) обладает прогнозирующими свойствами лишь при изменении x от 69 до 95. Так, например, можно с достаточной степенью достоверности считать, что при весе петушка 80 г вес его гребня составит y=2,32·80 - 132,56 ≈ 53 мг.