Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то, или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Обозначение: прописные латинские буквы X, Y, Z,…
или строчные греческие буквы ξ (кси), η (эта), θ (тэта), ψ (пси),…, а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами x1, x2,…, y1, y2,…
Примеры: координаты точки при случайном выборе, количество выстрелов до первого попадания, курс доллара и т.д.
Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной. Если множество значений случайной величины несчетно, то такая величина называется непрерывной.
Примеры: число выстрелов до первого попадания – дискретная случайная величина; значения на отрезке – непрерывная случайная величина.
Определение. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω, которая каждому элементарному событию ω ставит в соответствие число X(ω) т.е. X= X(ω), ω∊ Ω (или X=f (ω)).
Пример 1. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. Ω={ω1, ω2, ω3, ω4}, где ω1 =ГГ, ω2 =ГР, ω3 =РГ, ω4 =РР. X – случайная величина, число появлений герба. Тогда случайная величина X является функцией от элементарного события ω1 : X(ω1)=2, X(ω2)=1, X(ω3)=1, X(ω4)=0. X – дискретная случайная величина со значениями x1= 0, x2=1, x3=2.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий, в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины или просто распределением. Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности (Табл.1).
Таблица 1
Сумма вероятностей второй строки таблицы 1, равна единице:
p1 + p2 + ...+ pn = 1.
Такую таблицу называют рядом распределения (или таблицей распределения).
При графическом задании закона распределения дискретной случайной величины на оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а на оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником или полигоном распределения.
Пример 2. Вероятность угадывания 5-ти цифр из 36, где
Х - число угаданных цифр, Р - соответствующая ей вероятность.
Математические операции над случайными величинами
Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, …, n). Cтепенью m случайной величины Х называется случайная величина Хm, которая принимает значения xim с теми же вероятностями pi (i=1, …, n). Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида хi+yj (хi-yj или хiyj), где i=1, 2,…, n, j=1, …, m с вероятностями pij=Р . Если случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей
pij=
Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения хi+yj (хi-yj или хiyj), могут получаться одними и теми же способами при различных xi ,yj то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей pi или pij .