Наглядно представить себе отрицательное число может не каждый. Например трудно представить число -5. Ведь нельзя ни отмерить -5 м ткани, ни отрезать -500 г хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с еще более странными правилами действий над ними?
Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться. Если на товар большой спрос, фабрике увеличивают план по его выпуску, а если товар вышел из моды, то план приходится уменьшать. При обработке детали на станке ее масса уменьшается, а если к ней приваривают другую деталь, то масса увеличивается. Увеличивается и уменьшается с течением времени температура воздуха и т. д.
Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным. А можно толковать положительные и отрицательные числа и по-иному. Например, можно считать, что положительные числа выражают имущество, а отрицательные — долг. Если у кого-то в кармане 8 р., но он должен из них 5 р. отдать, то располагать он может только тремя рублями. Поэтому считают, что 8 + (- 5) = 3. Если же, наоборот, у него в кармане только 5 р., а должен он 8 р., то после того, как отдана вся наличная сумма, останется еще 3 р. долга. Это и выражают равенством 5 + (- 8) = - 3.
Примерно так толковали отрицательные числа индийские математики, которые столкнулись с ними при решении уравнений. По-видимому, такие числа рассматривал и греческий математик Диофант, живший в III веке нашей эры.
Еще раньше с отрицательными числами столкнулись китайские ученые. Это было примерно во II веке до нашей эры. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы не знали правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел. Впервые его сформулировали индийские ученые.
Надо сказать, что именно это правило является самым таинственным во всей теории. Объяснить, почему при умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное, несложно. Для этого достаточно заменить умножение на натуральное число сложением и увидеть, что, например, (- 7) · 3 = - 7 + ( - 7) + ( - 7) = - 21. Труднее объяснить, почему это остается верным при умножении положительного числа на отрицательное, ведь что значит, например, взять число 6 слагаемым -3 раза? Даже самые крупные математики XVIII века давали здесь на редкость туманные объяснения. Английский поэт У. Г. Оден с огорчением воскликнул:
«Минус на минус — всегда только плюс.
Отчего так бывает, сказать не берусь».
Однако в математике наряду с вопросом «почему?» встает и вопрос «а зачем?». Зачем говорить: «Температура изменилась на -8 °С», вместо того чтобы сказать: «Температура упала на 8°»? И впрямь, для обычной речи это не нужно. Но при составлении уравнений мы не всегда знаем, какой получится ответ—положительный или отрицательный. Например, в задаче спрашивается: «Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?» Составив уравнение и решив его, оказывается, что корень равен -7. Значит 7 лет назад отец был вдвое старше сына. Вот поэтому математики и ввели отрицательные числа и с их помощью решают самые сложные уравнения.