Конечно же, вам стоит посетить Астраханский Кремль, который начали строить еще в середине 16 века.
Подробная прогулка по территории Кремля описана ТУТ
Там же, на территории Кремля, обязательно стоит посетить Успенский собор - архитектурный шедевр Астрахани
И совершить обзорную прогулку по городу. Пример можно посмотреть ЗДЕСЬ