1. Арифметическая прогрессия: 1487, 4817, 8147, в которой каждый член возрастает на 3330, необычна в двух отношениях: (1) каждый из трех членов является простым числом, (2) все три четырехзначные числа являются перестановками друг друга. Не существует арифметических прогрессий из трех однозначных, двухзначных и трехзначных простых чисел, демонстрирующих это свойство. Однако, существует еще одна четырехзначная возрастающая арифметическая прогрессия. Какое 12-значное число образуется, если объединить три члена этой прогрессии? 2. Простое число 41 можно записать в виде суммы шести последовательных простых чисел: 41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 Это - самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньше одной сотни. Самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньше одной тысячи, содержит 21 слагаемое и равна 953. Какое из простых чисел меньше одного миллиона можно записать в виде суммы н
1.
Арифметическая прогрессия: 1487, 4817, 8147, в которой каждый член возрастает на 3330, необычна в двух отношениях: (1) каждый из трех членов является простым числом, (2) все три четырехзначные числа являются перестановками друг друга.
Не существует арифметических прогрессий из трех однозначных, двухзначных и трехзначных простых чисел, демонстрирующих это свойство. Однако, существует еще одна четырехзначная возрастающая арифметическая прогрессия.
Какое 12-значное число образуется, если объединить три члена этой прогрессии?
2.
Простое число 41 можно записать в виде суммы шести последовательных простых чисел:
41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13
Это - самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньше одной сотни.
Самая длинная сумма последовательных простых чисел, в результате которой получается простое число меньше одной тысячи, содержит 21 слагаемое и равна 953.
Какое из простых чисел меньше одного миллиона можно записать в виде суммы наибольшего количества последовательных простых чисел?
3.
Число 3797 обладает интересным свойством. Будучи само по себе простым числом, из него можно последовательно выбрасывать цифры слева направо, число же при этом остается простым на каждом этапе: 3797, 797, 97, 7. Точно таким же способом можно выбрасывать цифры справа налево: 3797, 379, 37, 3.
Найдите сумму единственных одиннадцати простых чисел, из которых можно выбрасывать цифры как справа налево, так и слева направо, но числа при этом остаются простыми.
ПРИМЕЧАНИЕ: числа 2, 3, 5 и 7 таковыми не считаются.
4.
Функция Эйлера, φ(n) [иногда ее называют фи-функцией] используется для определения количества чисел, меньших n, которые взаимно просты с n. К примеру, т.к. 1, 2, 4, 5, 7 и 8 меньше девяти и взаимно просты с девятью, φ(9)=6.
n Взаимно простые числа φ(n)n/φ(n)211231,221.541,32251,2,3,441.2561,52371,2,3,4,5,661.1666...81,3,5,74291,2,4,5,7,861.5101,3,7,942.5
Нетрудно заметить, что максимум n/φ(n) наблюдается при n=6, для n ≤ 10.
Найдите значение n ≤ 1 000 000, при котором значение n/φ(n) максимально.
5.
Паук S сидит в одном углу комнаты в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 6 на 5 на 3, а муха F сидит в противоположном углу. Путешествуя по поверхностям комнаты, кратчайший путь "по прямой" от S до F имеет длину 10 и показан на рисунке ниже.
Однако, в любом прямоугольном параллелепипеде существует до трех кандидатов на "кратчайший" путь, и кратчайший путь не всегда имеет целую длину.
Рассматривая все комнаты в форме прямоугольного параллелепипеда с максимальными размерами M на M на M, существует ровно 2060 прямоугольных параллелепипедов, для которых кратчайшее расстояние - целое число, при M = 100, и это - наименьшее значение M, при котором количество решений превышает две тысячи: при M = 99 количество решений равно 1975.
Найдите наименьшее значение M, при котором количество решений превышает один миллион.
6.
Внимательно сосчитав, можно понять, что в прямоугольной сетке 3 на 2 содержится восемнадцать прямоугольников:
Несмотря на то, что не существует такой прямоугольной сетки, которая содержит ровно два миллиона прямоугольников, найдите площадь сетки с ближайшим количеством прямоугольников.
7.
Пусть p(n) представляет собой число различных способов, которыми можно разделить монеты на несколько столбиков. К примеру, пять монет можно разделить на несколько столбиков ровно семью различными способами, таким образом p(5) = 7.
OOOOO
OOOO O
OOO OO
OOO O O
OO OO O
OO O O O
O O O O O
Найдите наименьшее значение n для которого p(n) делится на один миллион без остатка.
8.
Пусть в коробке лежит двадцать один диск, среди которых пятнадцать окрашены в синий цвет и остальные шесть - в красный. Из коробки случайным образом взяли два диска. Нетрудно показать, что вероятность достать два синих диска равна P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.
Следующая комбинация из наименьшего возможного количества дисков с ровно 50%-ным шансом случайным образом достать 2 синих диска - это коробка с 85 синими дисками и 35 красными.
Найдите такую комбинацию с наименьшим возможным суммарным количеством дисков, превышающим 1012 = 1 000 000 000 000, и определите количество синих дисков, находящихся в коробке.