#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
С «золотым сечением» мы уже сталкивались в статье о числах Фибоначчи. В сегодняшней статье я хотела бы уделить внимание этому понятию и понятию «серебряное сечение» с математической точки зрения.
Пропорция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей» — это равенство отношений двух (и более) пар чисел a, b и c, d, т.е. равенство вида:
Золотое сечение (золотая пропорция) — соотношение 2 –х величин a и b, при котором бОльшая вечичина относится к меньшей так же как сумма величин к бОльшей, и выражается алгебраической формулой (1):
В древнегреческой математике изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на 2 части, так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей:
Из равенства (1), представляя а независимой переменной, можно получить квадратное уравнение, которое описывает свойства золотого сечения:
Решая это уравнение, получим корни:
называется золотым числом. Для практических целей используют приближённое значение Φ = 1,618…
Красивое представление числа Φ выглядит в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
и в виде бесконечной цепной дроби:
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении.
Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Некоторые авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке.
На это число обратили внимание художники, скульпторы, архитекторы — его назвали божественной пропорцией и стали использовать в произведениях искусства, чтобы добиться идеальной композиции, наилучшего сочетания всех элементов произведения.
С тех пор золотое сечение находят в пропорциях гениальных произведений: пирамидах в Гизе и афинском Парфеноне, «Сотворении Адама» и сводах Сикстинской капеллы, созданных Микеланджело, «Мона Лиза» да Винчи.
СЕРЕБРЯНОЕ СЕЧЕНИЕ
Оказывается, существуют ещё и серебряное сечение, и бронзовое сечение, и прочие безымянные «металлические сечения».
Общее уравнение «металлических сечений»:
Если р = 1, то это как раз золотое сечение (см. выше);
Если р = 2, то уравнение выглядит, как
это уравнение имеет один положительный корень:
это и есть серебряное число (если р = 3, то можно получить бронзовое число и т.д.).
Серебряное число — иррациональное число, равное
или приблизительно 2,414213562.
В отличие от золотого сечения, серебряное сечение не имеет единого определения и общепринятого обозначения.
Считается, две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей.
Алгебраически оно записывается так:
Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки, хотя такое название, возможно, появилось только недавно.
Однако доказано, что металлические сечения — красивая математическая абстракция, неприменимая на практике. Многие значения металлических сечений вписываются в окрестности сечения золотого.
Всё-таки, как удивителен и красив мир чисел!
#хакнем_математика (👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике
Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.