Системы счисления
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.
Система счисления:
- даёт представления множества чисел (целых или вещественных)
- даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
- отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в древнем Египте. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Недостатки этой системы - невозможность записи больших чисел и громоздкость.
В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит.
Классификация систем счисления
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные системы счисления.
1. Позиционные системы счисления (СС) – это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры (её вес) зависит от ее положения (позиции) в записи числа.
Позиционный принцип записи чисел состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз.
Достоинства позиционных систем счисления:
- в позиционных системах счисления устранены все недостатки непозиционных:
- в них можно записать любое число (как натуральное, так и действительное);
- запись чисел компактна и удобна;
- благодаря поразрядной организации записи чисел с ними легко проводить математические операции.
2. Непозиционная система счисления (СС) – это такая система счисления, что в записи числа каждая цифра имеет всегда одно и то же значение, т. е. ее «вес» не зависит от местоположения в числе.
Например, римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы: I –1, V–5, X–10, L–50, C–100, D–500, M–1000.
Правила записи чисел в римской системе счисления:
- если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI – 6;
- если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL — 40;
- цифры М, С, Х, I могут повторяться в записи числа не более трёх раз подряд;
- цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.
Основные недостатки непозиционных систем счисления:
- в них нельзя записать любое число;
- запись чисел обычно громоздка и неудобна;
- математические операции над ними крайне затруднены.
Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например:
Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Двоичная система: {0, 1}
Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда.
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в развернутой форме.
Развернутая форма представления числа
А = ± (an-1* +an-2 *+ … +a0 *+a -1 *+a -2 * + … +a –m *)
Здесь:
А - само число,
q - основание системы счисления,
ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n - число целых разрядов числа,
m - число дробных разрядов числа.