Любые данные для обработки компьютером представляются последовательностями двух чисел – единицы и нуля. Такая форма представления получила название двоичной. Важным понятием при представлении данных в компьютере является система счисления. Система счисления – это совокупность приемов и правил представления чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение. Различают позиционные системы счисления и непозиционные. Непозиционная системы счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа. Запись числа А в непозиционной системе счисления может быть представлена выражением:
где D1, D2, …, Dn – символы системы Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой).
Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Это система самая неэффективная, так как форма записи очень громоздка. К непозиционной системе относится и римская, табл. 1.
Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) значение цифры X в любой позиции равно десяти.
Запись чисел в данной системе счисления осуществляется по правилам:
- если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IX: 1<10, следовательно, 10 – 1 = 9; XС: 10<100, следовательно, 100 – 10 = 90);
- если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VII: 5+1+1=7; XXXV: 10+10+10+5=35). Так, число 1984 в римской системе счисления имеет вид MCMLXXXIV (M – 1000, CM – 900, LXXX – 80, IV – 4).
Позиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа.
Алфавит позиционной системы счисления – упорядоченный набор символов (цифр) {а0, a1, …, an}, используемый для представления чисел в данной системе счисления. Основание позиционной системы счисления – количество символов (цифр) алфавита q = n + 1, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления. Ее алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Основание q = 10.
Например, в десятичной системе счисления число 333 записывается с помощью одной цифры 3, но значение каждой цифры определяется ее местоположением в числе: первая тройка – число сотен в числе, вторая тройка – число десятков, последняя – число единиц. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т. д. 13 Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (q – 1) включительно. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием q > 10, используются буквенные обозначения цифр. В табл. 2 приведены алфавиты некоторых систем счисления.
В вычислительной технике наибольшее распространение получили двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.