Хотите научиться переводить числа из одной системы счисления в другую, тогда прочтите статью до конца.
Система счисления – принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на два класса – позиционные и непозиционные.
Позиционные системы счисления.
В позиционных системах счисления для записи чисел используется некоторое количество отличных друг от друга знаков - цифр. Их число является основанием системы счисления. В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на соответствующие степени основания системы. Например, в привычной нам десятичной системе используется десять цифр – 0,1,...,9, и число записанное с их помощью, может быть подсчитано по формуле:
Здесь запятая отделяет целую часть от дробной, умножение обозначается «х», сложение «+», действия выполняются по правилам десятичной системы. Значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа (поэтому такие системы и называются позиционными). Общая формула для систем с любым основанием выглядит так:
Здесь l – основание системы счисления (целое положительное число, не меньшее 2); в левой части формулы – формальная запись числа в l – ной системе счисления; справа – формула для подсчета реального значения числа.
Если основание системы счисления меньше 10, то используется нужное количество привычных цифр, а если больше 11 – к цифрам добавляются буквы. Так, общепринятая база двенадцатиричной системы счисления: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В; а шестнадцатеричной – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С, D,E,F. При этом буква А соответствует цифре 10, В – 11 и т.д.
В каждой системе счисления есть своя таблица сложения и умножения. Для десятичной системы – привычные правила сложения цифр и таблица Пифагора, для остальных систем эти таблицы строятся аналогично.
Существуют правила перевода чисел из одной системы в другую.
Перевод числа из системы с произвольным основанием в десятичную дается формулой (4).
Перевод числа из десятичной системы в систему с произвольным основанием l осуществляется раздельно для целой и дробной части. Чтобы перевести целую часть необходимо разделить ее на l. Остаток даст младший разряд, записанный в l- цифрах. Полученное частное опять делим на l – новый остаток даст следующий разряд, и т.д. Процесс останавливается, когда частное станет равным нулю. Полученный при этом остаток дает старший разряд числа. Для перевода дробной части числа ее необходимо умножить на l. Целая часть полученного произведения (в l – цифрах) будет первым после запятой знаком. Дробную часть полученного произведения опять умножаем на основание и выделяем следующую цифру, и т.д. Процесс останавливается, когда дробная часть произведения обратиться в ноль, или когда будет достигнута требуемая точность. Отметим, что конечная дробь в одной системе счисления может превратиться в бесконечную дробь в другой (под дробью здесь понимаются аналоги десятичных дробей).
Кроме позиционных систем счисления существуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в записи числа. Такие системы называются непозиционными, и примером такой системы является римская. В этой системе используется 7 знаков: I –1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Запись числа представляет собой перечисление ряда из этих символов, а значение числа подсчитывается суммированием значений всех записанных символов. Например: III – 1+1+1=3; DCCLXXVII – 500+100+100+50+10+10+5+1+1= 777. Недостатком таких систем, из-за которых они имеют лишь ограниченное декоративное применение, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, правил действий над ними.
Двоичная система счисления.
Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается наборами только из двух знаков – 0 и 1.
Покажем пример перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно:
Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции, но при этом следует пользоваться соответствующими таблицами сложения и умножения. Двоичные таблицы сложения и умножения выглядят следующим образом (табл. 1):
Арифметические операции с многоразрадными числами в двоичной системе осуществляются так же, как и в десятичной. При двоичном сложении 1+1 возникает перенос единицы в старший разряд.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Эти системы представляют большой интерес с точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере. Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых знаков пользуются восьмеричной или шестнадцатеричной системами счисления. Эти системы выбраны потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2, и правила взаимного перевода чисел между этими тремя (2, 8, 16) системами очень просты.
Для перевода целой двоичного числа в восьмеричное надо разбить его справа налево на группы по три символа (самую левую группу нужно дополнить нулями) и поставить каждой группе ее восьмеричный эквивалент (см. табл. 2). Для перевода дробной части двоичного числа ее разбивают на аналогичные группы по три цифры, но слева направо, и нули при необходимости дописывают справа. Группа из трех двоичных цифр называется двоичной триадой. Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную каждой цифре ставится в соответствие двоичная триада, затем лишние нули (слева до запятой и справа после запятой) отбрасываются.
Пример:
1101101,01101112 = 001 101 101, 011 011 100 = 155,3348.
172,3468=001 111 010, 011 100 110 =1111010,011100112.
Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно производится аналогично переводу чисел из двоичной системы в восьмеричную и обратно, но двоичные числа разбиваются на группы по 4 символа (двоичные тетрады), приведенные в табл.2.
Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах выполняются, исходя из соответствующих таблиц сложения и умножения (табл. 3 – для восьмеричной системы; табл. 4 – для шестнадцатеричной системы).
Для практической отработки умений перевода чисел из одной системы счисления в другую предлагается к просмотру видеоурок
ВИДЕОУРОК
ЕСЛИ ВАМ ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ И ЖДЕТЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ, ПОДПИШИТЕСЬ НА БЛОГ. НЕ ПРОПУСТИТЕ НОВЫЕ ИНТЕРЕСНЫЕ СТАТЬИ!