Слово "Пространство" – очень широко используемое слово. Пространство – это свободное от чего бы то ни было место. Пустое. Ничем не занятое. Особенно часто оно используется (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах знаний – математика, физика, философия. Можно даже считать, что это – одно из основных понятий естественных наук и философии.
Из словаря Ожегова:
1. Одна из форм (наряду со временем) существования бесконечно развивающейся материи, характеризующаяся протяжённостью и объёмом: Вне времени и пространства нет движения материи.
2. Протяжённость, место, не ограниченное видимыми пределами: Небесное п. Воздушное п. Степные пространства. На всём пространстве пустыни. Смотреть в п. (о невидящем, отсутствующем взгляде).
3. Промежуток между чем-н., место, где что-н. вмещается: Свободное п. между окном и дверью
В бытовом смысле "пространство" есть вместилище всего сущего.
В общефилософском смысле понятие "пространство" относится к числу понятий с большой смысловой емкостью.
В космологии под пространством понимается наша 3-х или 4-мерная Вселенная с дискутируемой топологией, в которой мы живем и существуем.
В физике пространство – вместилище для реальных физических материальных объектов и полей. Но не только, т.к. математика – инструмент для описания Природы. Есть место и для других смыслов. В теоретических физических построениях понятие "пространства" практически совпадает с математическим "пространством". Наиболее распространенный тип используемого для этой пространства – это 3-мерное евклидово пространство. Это исторически первое и важнейшее математическое пространство (Большой Энциклопедический Словарь). Что такое евклидово пространство, знают все, кто учился в школе. Если не знают – то знают школьную геометрию. Пространство школьной геометрии и есть евклидово пространство.
Понятие "Пространство" в математике используется и в более широком смысле, чем объект евклидова пространства. ПРОСТРАНСТВО - это множество объектов, между которыми установлены отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями типа окрестности, расстояния и т. д.
Общее математическое понятие "пространство" есть "множество чего–то, удовлетворяющих тому–то", синоним понятия "множество" с определенной геометрической (топологической) структурой (упорядочения, непрерывности, движения). Очень часто это математическое аффинное, векторное или тензорное, метрическое пространство с некоторой топологической структурой, построенное как многомерное координатное пространство на основе вещественных чисел.
Наиболее общим типом математических пространств является топологическое пространство. Оно мало в чем сходится с евклидовым пространством, но все же есть точки соприкосновения. Они обе состоят из элементов - точек, а совокупность всех точек составляет само определяемое пространство. Конечно, это определение настолько широкое, что любые математические объекты – множества подходят под это определение. Но как в евклидовом, так и в топологическом пространствах определены отношения "быть окрестностью". А "окрестности" объединяют в каком то смысле близкие точки. Просто близкие – без определенного расстояния между ними.
Топологическое пространство, как и евклидово, обладает размерностью, потому что размерность Пространства – топологическая характеристика пространства. Для большинства практически изучаемых пространств определяется количеством числовых параметров для определения координаты точки. Но это определение размерности не является строгим, но по отношению к рассматриваемым в математике и физике числовым пространствам Rn оно верно. Скрытые размерности физического пространства могут явно себя не проявлять.
Ну и наконец, евклидово пространство является топологическим, но не наоборот.
А что находится между ними? И вообще – есть ли что-то между ними?
А между ними находятся "метрические" пространства. Евклидово пространство является метрическим, но метрические пространства – это более широкий класс пространств. Их объединяет только одно – между любыми точками метрического пространства имеется вполне определенное "расстояние". Численное. Со всеми теми свойствами, которые имеются у "расстояния" и "длины" в евклидовом пространстве. Например –
1) аксиома треугольника – сумма любых двух сторон больше третьей,
2) сумма углов, образуемых расходящимися из одной точки лучами на 2-мерной поверхности равна 2pπ и
3) евклидово пространство непрерывно и
4) любое евклидово пространство можно разметить с помощью N < ∞ чисел, где N – размерность пространства.
Но и отличиями – эти пространства могут быть линейными, криволинейными римановыми, лобачевского, … Замкнутыми и открытыми, связными и несвязными, плоскими и с кротовыми норами. Назову хотя бы в качестве примера всем известные названия подобных пространств: одномерные - линия, круг, двухмерные - плоскость, цилиндр, тор, сфера, лист Мебиуса, трехмерные – известное вам евклидово 3-мерное пространство, 3-мерная "сфера" – как считается, оно похоже на нашу Вселенную, и др. торообразные и цилиндроподобные 3-мерные пространства, и т.д.
Аксиома треугольника – это действительно аксиома, определяющая отношения между тремя простейшими объектами пространства - точками. Любыми. А вот сумма углов требует определения не только расстояний, но и прямых и плоскостей. И определения бесконечной последовательности специальных окрестностей с определенными свойствами и существования определенного бесконечного "ряда", предел которой и есть угол. Окрестности – это окружности на плоскости, предел – отношение длины окружности к ее радиусу.
В конце хочу показать разницу между метрическим евклидовым пространством и всеми другими метрическими не евклидовыми пространствами. В любом N-мерном метрическом евклидовом пространстве расстояние между бесконечно близкими точками определяется из формулы
dl² = dx₁² + dx₂² + dx₃² +…(1)
А между далекими точками – из формулы
L² = Δx₁² + Δx₂² + Δx₃² +…(2)
где Δx₁ - разность координат между точками. А расстояние в произвольных метрических пространствах определяется из формулы
dl² = ∑gᵤᵣdxᵘʳ.(3)
где u, r пробегают все возможные значения от 1 до N. Причем простой формулы, подобной (2), не имеется при любом координатном представлении пространства.
И последнее, что хотел сказать: если (1) определяет расстояние между точками евклидова и галилеева пространства классической механики Ньютона, то (3) определяет расстояния между точкам и риманова пространства. Например, именно такой формулой определяется расстояние между точками на Земле. Еще одно применение – это в знаменитой Общей теории относительности (ОТО) А.Эйнштейна. Сколько копий сломано на в отношении этой теории – не сосчитать. А его основа настолько проста, насколько и сложна.
Можно было сюда еще включить векторные пространства. А также тензорные пространства. Но это для другой статьи.
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!