Все знают, что такое математика. Даже дети. Дошкольники!
Это 1, 2, 3. Десять! Еще складывать и делить яблоки - тоже математика. А считать деньги - это вообще! Высшая степень радости! Но ...
Математика является формальной наукой. Ее формальность заключается в том, что объектами изучения математики являются абстрактные объекты. Наиболее известный абстрактный объект – это числа. А также множества. Абстрактные! Числа сами по себе в природе не встречаются, но они позволяют изучать природу и ее законы. Это ее качество определяется ее свойствами и возможностью ее биективного отображения на любое множество с любыми свойствами упорядочения мощностью до континуума и более при применении понятии "множество функции" и "множество подмножеств". (УФФ! Как много непонятных слов!). Наглядный пример – числа (цифры) 0 и 1. С их использованием работают все наши компьютеры и цифровые телекоммуникационные системы. Успешность применения математики в изучении природы определяется адекватностью ее описания формализованными математическими теориями и ее объектами.
Стержнем формальной теории является ее язык. Точное описание и изучение последнего по необходимости производится средствами некоторого, вообще говоря, другого языка, который принято называть метаязыком. Обычно в качестве метаязыка употребляются определенным образом ограниченные и регламентированные фрагменты естественных языков, обогащенные разными техническими терминами. Средства, допускаемые в метаязыке, важны с точки зрения метаматематики. Учитывая, что нас интересуют не метаматематические, а прикладные теоретико-модельные аспекты формальной теории множеств, к метаязыку не предъявляются чрезмерно жесткие требования. В частности, в дальнейшем широко используются общепринятые выразительные средства и уровень строгости обычной — содержательной — математики.
В этой статье речь будет идти о множествах произвольной природы или, как говорят, абстрактные множества. Это означает, что объекты, составляющие данное множество, или, как говорят, элементы данного множества уже не обязаны быть обязательно вещественными числами. Элементами абстрактного множества могут быть, например, функции, буквы алфавита, фигуры на плоскости и т. д.». В учебнике Ю. Г. Решетняк «Курс математического анализа», для ВУЗов пишется: «Для нас множество будет одним из первичных математических понятий, не выражаемым через другие математические понятия. Обычно, говоря слово ,,множество‘‘, мы будем под этим понимать совокупность объектов произвольного рода, рассматриваемую как единое целое. Вместе с термином множество будут употребляться и его синонимы типа набор, система, совокупность и т. п. Например, можно говорить о множестве решений некоторого уравнения, о коллекции картин, хранящихся в музее, совокупности точек круга и т. д. Объекты, составляющие то или иное множество, называются его элементами. Множество считается заданным, если для любого объекта можно установить, является он элементом данного множества или нет».
Непременным элементом математики, кроме понятий, определенных выше, является понятие некоторого отношения элементов множества. Наиболее фундаментальным понятием является понятие "логического высказывания". Без этого понятия нет математики. Поэтому в математике определяется особый класс множеств – множество (логических) высказываний и множество его значений, состоящее из двух элементов – «истина» (или 1) и «ложь» (или 0). Это множество совместно с определенными на ней операциями сама по себе составляет алгебру и эта алгебра является формальным инструментом анализа в математике. Любое знание определяется как некое высказывание, имеющее значение «истина» или «ложь». Методом получения новых знаний (познания) является доказательство. Доказательство есть последовательность следующих друг из друга логических высказываний, последнее высказывание которой есть доказываемое утверждение. В процессе доказывания применяются специальные высказывания, относительно которых точно известно, что они истинные (аксиомы), и правила вывода новых высказываний. Истинность специальных высказывании не доказывается, а принимается по умолчанию. Как следствие, разные математические теории могут противоречить друг другу. И в достаточно богатой математической теории, в соответствии с теоремой Геделя, возможно построить выражение, которое невозможно доказать средствами этой теории, и может появиться новая теория, включающая это высказывание или противоположное ей как еще одну истину (аксиому).
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!