Перед вами третья заметка серии, посвящённой объективному разбору действий мирового сообщества в борьбе с пандемией COVID-19 (не беспокойтесь, для понимания этой заметки ознакомление с первой и второй заметками не является необходимым).
Мир поделился на два лагеря: кто-то считает, что опасность коронавируса SARS-CoV-2 сильно преувеличена и протестует против введения сколь-нибудь жёстких карантинных мер, кто-то, наоборот, полагает, что мировое сообщество слишком мягко реагирует на сложившуюся ситуацию. Попытаемся в заметках дойти до истины и ответить на следующие вопросы:
- Стоит ли вообще бояться коронавируса SARS-CoV-2?
- Как моделируется развитие эпидемий и, в частности, пандемии COVID-19?
- Какие возможны стратегии по борьбе с эпидемиями?
- Какая стратегия борьбы в применении к COVID-19 является правильной?
- Какие ошибки были допущены мировым сообществом в противодействии пандемии COVID-19?
- Чего ожидать от пандемии COVID-19 в ближайшем будущем?
- Какие выводы необходимо сделать по прошествии пандемии?
В данной заметке отвечаем на второй вопрос из этого списка, простым языком рассказывая самые базовые сведения о математическом моделировании эпидемий, которое позволяет прогнозировать их развитие. В качестве следствия получим ответ на вопрос про вторую волну, вынесенный в заголовок заметки.
Введение
В начале этой заметки мы на время забудем о коронавирусе SARS-CoV-2 и будем рассматривать совершенно абстрактную эпидемию, вызванную каким угодно вирусом. Дело в том, что все основные законы, которым подчинены эпидемии, не зависят от того, с каким конкретно вирусом мы имеем дело, и формулируются в общем виде. Мы опишем и объясним эти законы, а в конце применим их к текущей ситуации с пандемией COVID-19.
Более подробно про модели прогнозирования эпидемий можно прочесть, например, в Википедии:
Basic reproduction number (eng) (рус)
Compartmental models in epidemiology (eng)
Репродуктивное число вируса
Каждый человек, подхвативший определённый вирус (всегда можно подразумевать, что речь идёт о коронавирусе SARS-CoV-2, но всё сказанное применимо абсолютно к любому вирусу), на протяжении своей болезни заражает им несколько других людей. Причём вполне возможны как ситуация, когда человек никого не заразит, так и ситуация, когда человек передаст вирус сотням других людей. Нас же интересует, сколько людей от одного человека (за весь период его болезни) заражается в среднем по конкретному рассматриваемому региону в рассматриваемый промежуток времени. Это число называется репродуктивным числом данного вируса. Будем обозначать его R.
Если предположить, что мы знаем R и что оно остаётся какой-то период времени постоянным, то общее число N(t) произошедших по прошествии времени t заражений можно высчитывать по следующей формуле:
Здесь N₀ – это начальное число заражений, а τ – среднее время, которое проходит от момента начала заболевания до того, как человек своим вирусом заражает другого человека (τ – это греческое «тау», которое редактор Дзена не позволяет написать). Когда говорят, что эпидемия растёт «экспоненциально», то имеют в виду как раз формулу, указанную выше.
Ясно, что если R<1, то это означает, что эпидемия в регионе (в данный конкретный момент времени) идёт на спад, а если R>1, то, наоборот, нарастает (причём, учитывая, что речь идёт о показательной функции, то нарастать эпидемия будет быстро, даже если R совсем несильно единицу превосходит).
Единственное исключение! Каким бы ни было значение R, эпидемия не будет нарастать, если N₀=0. И этот совершенно очевидный факт окажется для нас очень важным, так как заключает в себе принципиальное различие в философиях разных стратегий по борьбе с эпидемиями.
Из приведённой выше формулы следует, что если бы мы достоверно знали общее число заражённых людей в регионе в каждый конкретный момент времени, то, безусловно, могли бы вычислить R (так как формула в этом случае превратилась бы в уравнение с одним неизвестным). Проблема в том, что данные по официальным и реальным заражениям могут очень сильно расходиться, как уже было сказано в предыдущей заметке. Однако в предположении, что объём тестирований достаточный и подход к тестированиям принципиально не меняется со временем, динамика выявленных случаев будет отражать и общую динамику по заражениям. В этом случае можно по крайней мере довольно уверенно сказать: если ежедневный прирост числа заражённых растёт, то R>1, если падает, то R<1.
Ещё один важный момент, который необходимо отметить. Даже тот факт, что R<1, не гарантирует, что всё идёт хорошо, и, если ничего не менять, то пандемия скоро пройдёт. Всё устроено сложнее и, чтобы пандемия шла на спад стабильно, необходимо, чтобы число R было меньше 1 не только в целом по региону, но и во всех его подрегионах. Например, если в целом в России R<1, но в какой-то отдельной области R>1, то спад будет временным, и за счёт этой области статистика по общему числу заражений во всей России через некоторое время вновь полезет вверх. Собственно, мы это уже видели и по миру в целом: когда Китай от эпидемии стал оправляться, а остальные страны лишь начинали болеть, общая динамика была положительная, но продолжалось это совсем недолго, что хорошо видно на графике:
От чего зависит значение репродуктивного числа вируса в регионе?
Есть три аспекта.
- Общие свойства вируса и конкретного региона.
- Процент людей, обладающих иммунитетом от вируса, в данном регионе (пока нет вакцины, речь здесь идёт о переболевших вирусом в предположениях, что после заболевания вырабатывается иммунитет и переболевшие не могут стать переносчиками вируса повторно).
- Карантинные меры, принятые в регионе (предполагаем, что они действуют уже продолжительное время, и ситуация стабилизировалась).
Первого аспекта мы уже касались в первой заметке этой серии, говоря о заразности вируса. Напомним, что заразность вируса характеризуется его базовым репродуктивным числом R₀, которое показывает, сколько человек в среднем заражает один носитель вируса при условии отсутствия карантинных мер и вакцинации населения (т.е. как раз при тех условиях, когда аспекты 2 и 3 никак на R не влияют и R=R₀). Естественно, значение R₀ у одного и того же вируса для разных регионов может быть разным. Например, в городе с большой плотностью населения, в котором люди массово пользуются общественным транспортом, вынужденно контактируя друг с другом, R₀ будет выше, чем в малонаселённом регионе, где люди чаще пользуются индивидуальными транспортными средствами. Также есть ряд иных факторов, которые на значение R₀ могут влиять (например, на активность вируса может влиять климат региона).
Для всех распространённых вирусов имеются научные оценки базового репродуктивного числа.
- У наиболее заразных вирусов (корь, ветрянка, свинка) показатель R₀ около 10.
- У коклюша и краснухи, также считающихся очень заразными, показатель R₀ находится между 5 и 7.
- У гриппа, также считающегося довольно заразным, R₀ меньше 2. Также значение R₀ меньше 2 у уже упомянутой выше Эболы. У простудных заболеваний (к которым, как известно, относят большой набор вирусов) R₀ варьируется от 2 до 3.
Более точные оценки можно посмотреть, например, в Википедии.
Далее рассмотрим п.2. Если предположить, что карантинных мер нет, а вот иммунитет часть населения приобрела, то число R окажется равным значению эффективного репродуктивного числа R′, вычисляемого по формуле R′=R₀⋅(1–I), где I – доля людей, обладающих иммунитетом от вируса, во всём населении региона.
Прочее влияние общества на число R сейчас сводится к определению списка карантинных мер, способных его сделать меньше R′. Заставили всех носить маски – это как-то повлияло на R, заставили некоторые группы населения работать удалённо – ещё как-то повлияло и т.д. Расчёт того, насколько именно та или иная мера уменьшает R – непростая задача (но специалисты должны уметь это делать).
В какой момент можно считать, что эпидемия побеждена?
Эпидемию можно считать побеждённой в случае, если карантинные меры можно полностью снять, не получив новой вспышки или, как сейчас в контексте текущей ситуации по COVID-19 говорят, «второй волны».
И есть ровно два варианта, при которых новой вспышки не будет.
Первый вариант: избавление от вируса
В регионе будут отсутствовать неконтролируемые случае заражения, и будет исключена возможность завоза вируса из вне. Т.е. как раз будем иметь N₀=0.
Второй вариант: приобретение имунитета
В регионе будет достигнуто достаточно большое значение показателя I, т.е. доли граждан, которые, переболев, либо сделав прививку, приобрели иммунитет. Мы уже говорили, что в случае отсутствия карантинных мер имеем R=R′=R₀⋅(1–I), и, чтобы вспышки не случилось, необходимо, чтобы R был меньше 1.
Т.е. должно быть выполнено неравенство R₀⋅(1–I)<1. Или, что то же самое
Пример
Для кори средняя оценка R₀ равна 15. Соответственно, чтобы единичный откуда-то взявшийся (например, завезённый) случай заболевания не привёл к вспышке кори в регионе, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
Таким образом, чтобы не было риска распространения кори в регионе, вакцинировано должно быть более 93% населения. Антипрививочники, привет.
Как значение репродуктивного числа вируса должно влиять на решения по карантинным мерам?
Предположим, что в регионе идёт эпидемия и для борьбы с ней принимаются карантинные меры. Как по числу R понять, всё ли происходит правильно? Ограничимся следующими двумя наблюдениями.
- Если R>1, то карантинные меры не могут быть признаны эффективными, так как на достаточно продолжительном промежутке времени получим огромный прирост заражённых (так работает экспонента).
- Если R<1, то карантинные меры являются эффективными. Если R существенно меньше 1, то скорее всего карантинные меры можно смягчить, оставляя их эффективными. Однако, это совершенно не означает, что так надо делать! Во-первых, сложно заранее предсказать, как именно конкретная мера на число R влияет, а потому есть риск, смягчив карантин, получить R>1, и всё быстро пойдёт насмарку. Во-вторых, даже, если мы чётко контролируем, что R остаётся меньше 1, то, чем ближе R к 1, тем меньше будет скорость избавления региона от эпидемии. Тут мы выбираем между двумя вариантами:
– быстро от вируса избавиться и карантин отменить,
– медленно от избавляться от вируса, но в любой момент времени делать карантин предельно мягким.
Выбору между этими двумя вариантами в применении к COVID-19 будет посвящена одна из следующих заметок настоящего цикла.
Вернёмся к COVID-19
Для коронавируса SARS-CoV-2, как уже говорилось в первой заметке, научные оценки базового репродуктивного числа сейчас быстро скачут со временем (причём с явной тенденцией изменения оценок в большую сторону). В последней статье, на которую ссылается Википедия, говорится об оценке 3,8<R₀<8,9 для Уханя, который первым столкнулся с вирусом. Медианным значением R₀ при этом является 5,7. Эту оценку можно распространить на другие крупные города (население Уханя около 12 миллионов человек, что сравнимо, например, с Москвой). В целом же оценка на данный момент ещё шире: 1,9<R₀<8,9 (в российской Википедии редакторы, видимо, не знают, что такое медианное значение и на данный момент, ссылаясь на ту же статью, указывают 5,7 в качестве верхней оценки).
Так как вакцины от SARS-CoV-2 на данный момент не существует, то, видимо, иммунитетом от коронавируса могут обладать лишь те, кто перенёс заражение. При этом на данный момент научно не доказано, что иммунитет после заражения, действительно, приобретается, и тем более неясно, сколько он у человека сохраняется. Но давайте договоримся оптимистично считать, что повторно SARS-CoV-2 заразиться нельзя. Соответственно, будем полагать, что I – это доля населения, перенёсших заражение вирусом SARS-CoV-2.
Как уже отмечалось выше говорить о победе над эпидемией можно, либо полностью избавившись от вируса в регионе, либо в случае, когда доля переболевших станет столь большой, что будет выполняться неравенство
Примеры
- Мэрия Москвы пытается с максимальным оптимизмом преподносить новости о большом проценте жителей столицы с выявленными антителами к коронавирусу (которые свидетельствует о том, что заражение было человеком перенесено). По последним данным доля жителей Москвы с антителами равна 17,4% от всего населения города (в предыдущей заметке мы обсуждали, насколько этим данным можно верить).
Из приведённой выше оценки следует, что в предположении, что в Москве 17,4% населения имеет иммунитет от вируса, полная отмена карантина была бы возможной лишь в случае вируса с R₀<1,21 (что сильно ниже самой оптимистичной оценки числа R₀ для SARS-CoV-2). - В предположении, что R₀=5,7 (оценка, полученная для Уханя, которую вполне можно распространять на другие крупные города, например, Москву), говорить о полной отмене карантина можно будет лишь тогда, когда иммунитет приобретёт 82,5% населения региона.
- Часто можно услышать фразу в духе: «Две трети населения всё равно вирусом переболеет рано или поздно». Если 2/3 населения планеты будет иметь иммунитет, то отмена карантина будет возможна в случае, если R₀<3. Естественно, речь идёт о каких-то средних значениях: напомним, что R₀ разное для разных регионов, соответственно и число людей, обладающих иммунитетом, должно варьироваться соответствующим образом.
В России активно отменяют карантинные меры, а число заражений резко падает. Почему так?
Есть несколько возможных объяснений, и пусть каждый выберет то, которое ему больше придётся по душе.
- Базовое репродуктивное число R₀ вируса SARS-CoV-2 на территории России резко уменьшилось по каким-то биологическим причинам: вирус мутировал и ослаб, сказывается начавшееся лето (в этом случае уменьшение носит временный характер) и т.п.
- Те карантинные меры, которые остались (информирование населения, ношение масок, социальное дистанцирование и т.п.), вполне достаточны для того, чтобы поддерживать репродуктивное число R вируса SARS-CoV-2 меньшим 1.
- Данные намеренно искажаются. Конституция, все дела...
- Заражения стали реже выявляться по естественным причинам: люди свыклись с SARS-CoV-2, стали меньше его бояться, реже обращаются к врачам. Либо просто эпидемия сместилась из Москвы в регионы, где выявляемость ниже.
- Сменилась методика учёта заболевших в официальной статистике: по рекомендациям Минздрава в статистику не надо заносить тех, у кого нет жалоб.
Отметим, что несмотря на пункт 5, в сообщениях со статистикой по-прежнему присутствует указание доли случаев, в которых не было клинических проявлений болезни, но эта доля упала на 10–15% (и причина тут явно где-то между пунктами 4 и 5). В мае было от 40% до 50% «бессимптомников», в июне – от 30% до 40%. Например, сравним данные от 7 мая и 23 июня (см. скрины ниже). Чтобы статистические наблюдения не искажала разница в методологиях, проведём сравнение чисел, отбросив случаи «без клинических проявлений». Получим 5762 случаев 7 мая и 4997 случаев 23 июня. Не такая большая разница, как на первый взгляд кажется.
Резюме
Репродуктивное число R, характеризующее заразность определённого вируса, складывается из трёх составляющих:
- свойства вируса в применении к конкретному региону,
- доля населения региона, обладающая иммунитетом,
- введённые в регионе карантинные меры.
Если карантинные меры отсутствуют, то получаем R=R' – эффективное репродуктивное число, а, если ещё дополнительно отсутствуют люди, обладающие иммунитетом, то получим R=R₀ – базовое репродуктивное число.
Число R даёт понимание о том, насколько всё в данный момент времени в регионе идёт хорошо в плане распространения эпидемии: если R>1, то эпидемия будет быстро разрастаться, если R<1, то, наоборот, масштабы эпидемии будут быстро уменьшаться (если R=1, то ситуация будет оставаться неизменной, но ясно, что реально такого не бывает).
Чтобы ситуация с эпидемией нормализовалась и карантинные меры можно было бы отменять, необходимо, чтобы было выполнено неравенство R'<1, что будет выполнено в случае, когда доля I населения региона, обладающая иммунитетом, больше 1–1/R₀.
Для коронавируса SARS-CoV-2 число R₀ оценивается в пределах от 1,9 до 8,9. Медианное значение числа R₀ для Уханя оказалось равным 5,7. На эту оценку стоит ориентироваться крупным городам.
Разговоры о том, что россияне начинают приобретать иммунитет к коронавирусу, благодаря тому, что многие им уже переболели, преждевременны. Если принять оценку R₀=5,7, то для того, чтобы в отсутствии карантинных мер эпидемия не прогрессировала, иммунитет должны приобрести более 82,5% жителей региона тогда, как сейчас речь идёт лишь о 17,4% жителей Москвы с антителами (что было бы достаточно лишь в случае вирусов с R₀<1,21).
Если после отмены карантинных мер репродуктивное число вируса станет больше 1, то вопрос увеличения прироста заражённых будет лишь вопросом времени, причём не очень долгого. Соответственно, до победы над пандемией COVID-19 России, как и миру в целом, ещё очень далеко. Относительную победу над коронавирусом могут праздновать лишь те страны, которые от него полностью избавились. В них вторая волна возможна лишь в случае завоза вируса извне.
Присоединяйтесь к нашему заповеднику. Подписка, лайк, адекватность.
Серия COVID-19
Часть 1. Опасен ли вообще коронавирус SARS-CoV-2?
Часть 2. Статистика заражений и смертей. Что с ней не так в России?
Часть 3. Прогнозирование эпидемий. Надо ли бояться второй волны?