Привет!
Меня зовут Наталья Саурова, я пишу о своем опыте преподавания математики онлайн.
Сегодня у нас очень позитивная тема, а именно день рождения! С математической точки зрения, разумеется :)
Эпилог
Недавно у моего ученика был день рождения. И самое удивительное, что в тот же самый день был день рождения у его одноклассника (в классе 27 человек).
А так ли это удивительно, подумала я? Ведь всем известен старый-добрый парадокс о дне рождении. Или не всем?
Сперва посчитаем кроликов
Что говорит теория вероятности?
Давайте начнем с простого примера. Представьте, что у нас есть три перчатки. Тогда, мы можем с уверенностью сказать, что у нас есть как минимум две одинаковых (левых или правых) перчатки.
То есть когда объекты можно классифицировать на k количество классов, а количество объектов у нас равно m>k, то у нас есть как минимум два объекта, принадлежащих к одному классу.
Это называется принципом Дирихле. Этот принцип был описан немецким математиком Дирихле еще в 19 веке, и изначально речь шла о кроликах и ящиках: если кроликов больше, чем ящиков, то в какой-то ящик придется посадить двух кроликов — квадратиш, практиш, гуд. Кстати, немцы называют это такое естественное и логичное правило "принципом ящиков".
Парадокс дня рождения
На первый взгляд, в нашем случае мы должны использовать принцип Дирихле и, очевидно, что если мы соберем вместе 366 человек, то со 100% вероятностью можно утверждать, что дни рождения двух человек совпадут, так как каждый из них в один из 365 дней да родился (не берем високосный год).
Это верно, но также верно, что нам достаточно собрать лишь 70 человек, чтобы с 99.9% вероятностью утверждать, что двое из них имеют день рождения в один день. Как? Сейчас разберемся.
Для начала давайте условимся, что все дни равнозначны, то есть человек мог родится в любой день года с одинаковой вероятностью.
Теперь воспользуемся следующим приемом: вероятность, что два человека родились в один и тот же день равна вероятности, что они родились (то есть 1) минус вероятности, что они НЕ родились в один день. Выглядит это просто:
Давайте предположим, что мы собрали вместе n человек. Тогда P(A') — это вероятность, что каждый из n человек родился в отдельный день (не совпадающий с кем-то другим). Тогда первый человек мог родиться в любой день (365/365), второй в любой из 365-1 дней (364/365), у третьего было 365-2 дней (363/365) и так далее. Чтобы получить вероятность, что каждый из них родился в отдельный день, мы должны вероятности перемножить. Следовательно:
И так далее. Мы видим, что у нас будет n множителей (вероятность родиться в отдельный день для каждого из n человек). Тогда мы можем вынести (1/365) и получим следующее:
Напомню, что n — это количестве человек, которых мы собрали вместе, чтобы выяснить, какова вероятность, что у двоих окажется день рождения в один день, а произведение выше — это вероятность, что каждый из n человек родится в ОТЛИЧНЫЙ от другого день.
Речь идет о вероятности 99.9% (нам ведь хватит такой вероятности?), тогда P(A') = 1 - 99.9% = 0.1% (0.001)
Теперь найдем n. Для этого нам нужно решить достаточно сложную вычислительную задачу, поэтому предлагаю немного сжульничать и посмотреть значения в таблице (для этой задачи уже посчитаны внушительные таблицы для каждого числа человек).
И окажется, что для того, чтобы с 99.9% утверждать, что у двух человек совпадут дни рождения, нам нужно собрать всего лишь 70 человек!
Более того, чтобы быть уверенными на 50% (снова смотрим в таблицу), нам нужно лишь 23 человека! Удивительно, правда?
А вот и вся таблица:
Давайте вернемся к моему ученику. Если у него в классе 27 человек, то вероятность, что у него день рождения совпадет с одноклассником превышает 60% — это не так уж и мало!
А есть ли продолжение у парадокса?
В качестве продолжения, можно посчитать вероятность, с которой дни рождения совпадут у трех человек. Как вы думаете, сколько человек нам нужно для 50% вероятности?
Текст: Наталья Саурова