Сложность 4/10
Зададимся вопросом - с какой скоростью тело, с высоты H, упадет на поверхность планеты? Логика подсказывает, что при высоте H=0, скорость V также будет равняться нулю, а чем выше высота, тем больше времени будет у тела на разгон и тем большей скорости оно достигнет. А что, если мы отдалим тело на очень большое расстояние, например, на 10^100 метров, подождем несколько триллионов триллионов (и еще много раз) лет и посмотрим, с какой скоростью оно, наконец то упадет на планету. Первая мысль - разгонится оно очень сильно и так как у нас имеется ограничение в скорости, равное скорости света, то стоит полагать, что скорость его будет близка к скорости света или что то вроде того. Посмотрим, так ли это?
Слева - планета, справа - падающее тело. Обозначим расстояния r, H, R, как указано на рисунке. В прошлой части мы уже рисовали график ускорения от расстояния a(R) между притягивающимися телами, здесь нарисован он же в увеличенном масштабе. В физике есть одна очень хорошая формула, связывающая скорость, ускорение и расстояние - она обведена в красный прямоугольник на рисунке. Выводится она из закона сохранения энергии и хороша тем, что в ней отсутствует время - оно нам здесь ни к чему, к тому же приведет к некоторым сложностям в дальнейших релятивистских вычислениях. Закон сохранения энергии всегда хорош тем, что работает безотносительно к времени.
Эта формула говорит нам вот о чём: "Если тело начинает движение из состояния покоя с постоянным ускорением "а" и проехало "R" метров, то к этому моменту оно будет иметь скорость "V", которая рассчитывается по этой формуле". Очень удобная и простая формула. Например, школьная задача - мяч падает на землю с высоты 5 метров, какова его скорость в момент касания земли? а=10 м/сс, R=5 м, подставляем:
Формула очень удобная, но есть нюанс - она работает только в том случае, если ускорение постоянно. Вблизи планеты оно более-менее постоянное, поэтому формула применима, но мы хотим исследовать падение тела с огромного расстояния, и ускорение при этом будет сильно увеличиваться по мере приближения тела к планете. Как же быть? Именно для таких случаев и придуман интеграл. Интеграл - это умножение, предназначенное для перемножения меняющихся величин. Обратимся к рисунку 1: Если мы просто перемножим a*R, то получим площадь прямоугольника с высотой "а" и шириной "R", а если используем интеграл, то получим площадь заштрихованного участка - он то нам и нужен! Честно говоря, интеграл только и необходим для вычисления площадей вот таких кривых фигур. Теперь, все, что нам надо сделать, это заменить умножение между "a" и "R" на интеграл. Математически это записывается совсем не сложно:
Знак умножения заменяется на букву "d" - можно считать эту букву всего лишь заменой знака умножения, а значок интеграла объявляет, что с этого момента начинается интегрирование и выполняет, в некотором смысле, роль скобки. Для особо любознательных напишу подробней - буква d означает знак дифференциала, то есть бесконечно малый кусочек от R, а сам интеграл занимается тем, что берет нашу кривую заштрихованную фигуру, делит ее на бесконечно тонкие вертикальные столбики и суммирует площади этих столбиков. Да, площадь каждого каждого из них будет равна a*dR, а так как dR бесконечно мало, то и площадь будет бесконечно мала, но и самих столбиков бесконечно много, поэтому интегралу приходится суммировать бесконечное количество бесконечно малых площадей, благо он это умеет. Для полной записи мы должны обозначить, площадь какого именно куска мы хотим найти, ограничив пределы интегрирования слева и справа. Из рисунка видно, что слева интеграл ограничивается радиусом планеты r, а справа - тем расстоянием, на которое отдалено тело от центра планеты R. Записывается это снизу и сверху от значка интеграла соответственно:
Все, теперь наша формула записана корректно. Так как ускорение зависит от R (именно по этой причине мы использовали интеграл вместо обычного умножения), нам нужно выразить "a" через функцию, зависящую от R, то есть раскрыть "а". Какова же зависимость a(R) для падающего на планету тела? Это мы выразили в (3) в Части 1 наших лекций из закона всемирного тяготения Ньютона:
Подставляем (3) в наш интеграл и решаем его:
Решение интегралов - дело скучное и требует просто нарабатывания навыка, поэтому на том, как решаются интегралы, я останавливаться не буду - это входит в стандартный курс любого ВУЗа. Формула (6) буквально говорит нам: Если мы поднимем тело на высоту R от центра планеты, которая имеет массу m2 и радиус r, и отпустим его, то рано или поздно оно упадет на планету и в момент соприкосновения тела с поверхностью планеты, скорость тела будет равна V. Кажется, то, что надо! Теперь мы можем ответить на вопрос, заданный вначале лекции - с какой скоростью упадет тело на поверхность планеты, если мы его отдалим на очень большое расстояние R? Здесь можно применить хитрость для упрощения расчетов. Смотрим на правую часть (6), а именно на 1/R. Берем R равным очень большому числу. В таком случае 1/R становится равным 0 - теперь мы можем выбросить этот фрагмент из формулы:
Обожаю наблюдать за тем, как упрощаются формулы после, порой, чудовищных интегрирований. Жаль, не всегда получается так красиво. Итак, (7) - это скорость с которой тело упадет на планету при падении с огромной и даже бесконечной высоты. Давайте выясним, какова эта скорость для Земли:
Невероятно, но эта скорость оказалась не бесконечной. То есть, с какого расстояния бы мы ни запускали наше тело в сторону Земли, оно никогда не разгонится до скорости выше 11,2 км/с. Да, таковы "гравитационные возможности" нашей планеты. Теперь порассуждаем. Представим себе, что мы выбрали такую точку для запуска нашего тела, что оно упадет на Землю со скоростью, несколько ниже, чем 11,2 км/с, например 11,1 км/с. очевидно, что эта точка должна быть поближе к Земле, чем та наша первая точка. Итак, мы отпускаем тело и даём ему упасть на Землю. Его скорость при касании Земли равна 11,1. Теперь мы перемещаемся на Землю, подбираем это тело и запускаем его обратно в ту сторону, откуда оно прилетело ровно в том же направлении и с той же скоростью 11,1 км/с (напоминаю, что атмосферу мы убрали - это совсем другая история), что получится? Исходя из закона сохранения энергии или симметрий в физике, это тело полетит в обратную сторону, словно в реверсивном воспроизведении, долетит до точки, откуда мы его запускали в самом начале и остановится, затем плавно полетит обратно на Землю. Самое важное, что стоит понимать - точка разворота тела будет точно там же, откуда мы его и запускали. Точно такой же фокус можно проделать со скоростями 10 км/с, 5 км/с, 10 м/с - это очевидно. То есть для любой скорости запуска ниже 11,2 км/с существует точка разворота тела, после чего оно начнет движение назад. А что будет, если мы запустим тело с Земли со скоростью 11,3 км/с или выше? Точки разворота просто-напросто не будет - её просто нет! Мы выяснили, что при падении тела с бесконечной высоты на Землю, оно упадет со скоростью 11,2 км/с, значит и при запуске с Земли со скоростью 11,2 км/с оно улетит бесконечно далеко. При запуске с скоростями выше 11,2 км/с, оно улетит бесконечно и подавно. Так что, при любой скорости запуска выше 11,2 км/с - тело улетит и не вернется, а при скорости ниже 11,2 км/с - долетит до определенной точки и вернется на землю. Эта скорость называется второй космической скоростью или скоростью убегания и является характеристическим значением для планеты или любого космического тела, а (7) - формула расчета второй космической скорости. Для Солнца она равна дикие 618 км/с, для Юпитера 59,5 км/с, а для Луны 2,4 км/с. По традиции, вычислим эту скорость для МКС - считаем, что мы открыли люк главного корпуса МКС и что то выбросили оттуда. Получится 2,8 мм/с, что опять же весьма ощутимо и можно себе представить. Но самое главное - теперь у нас сложилось понимание, что гравитация не обладает "безграничными возможностями" и наша Вселенная вовсе не обязана сжаться под действием собственной гравитации, т.к. запросто могут существовать тела, которые уже никогда не вернутся обратно, сколь долго бы на них не действовала гравитация. Другой вопрос - насколько много таких объектов или какова средняя скорость движения макрообъектов во Вселенной. Это значение связано с критической плотностью Хаббла, которая, как раз и определяет - ждёт ли Вселенную большое сжатие или она продолжит расширяться бесконечно - это интересный вопрос, который, кстати говоря, подвергнется критике с нашей стороны в будущем.
Интересно, а что будет, если мы подставим в (7) скорость, равной скорости света? Получится, что для преодоления гравитации планеты нам понадобится скорость выше скорости света, что невозможно, исходя из предела скорости. Как многие догадались, получится черная дыра и, наконец то, мы переходим к интересным рассуждениям. Но об этом уже в следующей лекции. Приходите)
