Всем известно классическое доказательство, основанное на противоречии свойств четных чисел и взаимно простых чисел.
Доказательство основано на представлении корня квадратного из 2 в виде отношения целых чисел :
1. sqrt(2)=m/n,
где sqrt(2)-корень квадратный из 2,
m,n - взаимно простые целые числа, то есть не имеющие общих делителей
2. m^2=2n^2
где m^2=m×m, n^2=n×n
3. из (2) следует, что m^2 - четное, откуда "следует" , что и m - четное. Так как квадрат любого нечетного есть нечетное.
Откуда после преобразований получаем, что и n - четное.
Что противоречит тому, что m и n - взаимно простые. Что доказывает невозможность (1).
Однако (3) есть грубейшая ошибка. Так как m не является четным числом. В силу того , что из (1) следует:
m=sqrt(2)×n
А sqrt(2) не равняется 2, то m никак может быть четным числом. Поэтому (3) является ложью и доказательство неверно.
Правильное доказательство.
Поскольку m не является ни четным, ни нечетным, то m не является целым. Что противоречит (1).