Будем считать, что понятие выпуклого многоугольника всем знакомо (треугольник, трапеция, ромб — выпуклые многоугольники; звезда — невыпуклый многоугольник).
Если все стороны выпуклого многоугольника равны и все углы равны, то такой многоугольник называется правильным (равносторонний треугольник, квадрат...). Правильных многоугольников существует бесконечное множество: правильный треугольник (равносторонний треугольник), правильный четырёхугольник (квадрат), правильный пятиугольник (пентагон), правильный шестиугольник (гексагон), правильный семиугольник (нет собственного названия), правильный восьмиугольник (октагон) и т. д.
Аналогом правильного многоугольника в трёхмерном пространстве является правильный многогранник. Если все грани многогранника равны между собой и являются правильными многоугольниками, то такой многогранник называется правильным. На первый взгляд кажется, что правильных многогранников существует бесконечное множество, как и правильных многоугольников. Но оказывается, что правильных многогранников всего пять. Это известно с древних времён (доказал древний грек Теэтет Афинский), причём гранями могут быть только три вида правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.
- Тетраэдр — правильный четырёхгранник, гранями являются правильные треугольники.
- Куб (или гексаэдр) — правильный шестигранник, гранями являются 6 квадратов.
- Октаэдр — правильный восьмигранник, грани — правильные треугольники.
- Икосаэдр — правильный 20-гранник, грани — треугольники.
- Додекаэдр — правильный 12-гранник, грани — пентагоны.
Платон в диалоге "Тимей" связал правильные многогранники с существующими в представлениях того времени четырьмя стихиями (или элементами):
- Тетраэдр — огонь
- Куб — земля
- Октаэдр — воздух
- Икосаэдр — вода
Додекаэдр остался как бы "бесхозным" и Платон в отношении него сделал маловразумительное замечание: "…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца". Позже Аристотель добавил пятый элемент — эфир, из которого сделаны небеса, но не указал, что это и есть платоновский пятый элемент. Сейчас в различных эзотерических таблицах додекаэдр ассоциируют с эфиром.
Пять правильных многогранников получили название платоновых тел.
В давние времена было известно пять планет как небесных тел (исключая Землю): Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн. Философам, стремящимся постичь гармонию мира, не могло не прийти в голову связать платоновы тела и планеты. Немецкий астроном Иоганн Кеплер долго и кропотливо высчитывал орбиты планет, так и сяк располагая правильные многогранники друг внутри друг друга, вписывая в них и описывая вокруг них сферы, самая внешняя из которых соответствовала орбите Сатурна, но ничего не получилось, если не считать, что попутно Кеплер открыл два закона движения планет.
Умозрительные безрезультатные попытки связать платоновы тела с огнём, землёй, водой, воздухом, эфиром или с орбитами планет являются примером нарушения научной методологии, согласно которой теория должна объяснять факты (в природе надо искать математику), а не искусственно факты подгоняться под теорию, под те или иные красивые математические понятия.
Что же, платоновы тела (правильные многогранники) нигде не встречаются в природе? Нет, конечно, встречаются. Кристаллы пирита (серного колчедана, FeS2) или всем знакомой поваренной соли имеют кубическую форму, а кристалл, находящийся внутри вируса полиомиелита (капсид), представляют собой природную модель икосаэдра. А каких-либо фундаментальных законов природы, связанных с платоновыми телами, пока не обнаружено.