Министерство образования Азербайджанской Республики. Азербайджанский университет архитектуры и строительства.
Руководитель: Доцент Мехтиев.А.Г.
Студент: Саламов Абузар. Т.
Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том , что он является предельным законом , к которому приближаются , при определенных условиях, другие законы распределения.
Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами 𝛼 и 𝜎 > 0, если ее плотность распределения имеет вид
f(x) = 1 𝜎∗√2𝜋∗𝑒−(𝑥−𝑎)2 , x ∈ R
Тот факт , что случайная величина имеет нормальное (Гауссовское) распределение с параметрами𝛼 и 𝜎, сокращенно записывается так : X~N(𝜶,𝝈).
Убедимся что f(x)-это функция плотности . Очевидно, f(x) > 0 . Проверим выполнение условия нормировки
Имеем:
∫1𝜎∗√2𝜋∞−∞*𝑒−(𝑥−𝑎)22𝜎2 dx =
=𝜎∗√2𝜎∗√2𝜋∫𝑒−(𝑥−𝑎)2∞−∞*d(𝑥−𝑎√2∗𝜎)=
=1√𝜋∫𝑒𝑡2∞−∞ dt =1𝜋*√𝜋 =1.
Здесь применили подстановку𝑥−𝑎√2∗𝜎 =t и использовали «интеграл Пуассона»
I=∞∫−∞e−x2dx=√π
Из равенства следует :
∫𝑒−𝑡2∞0dt=√𝜋2 , ∫𝑒−𝑧22∞0 dz=√𝜋2 =
=∫𝑒−𝑧220−∞ dz.
Функция распределения F(x) =∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥−∞ непрерывная случайная величина X~N (𝛼,𝜎) имеет вид
F(x)=1𝜎∗√2𝜋 ∫𝑒−(𝑡−𝑎)2𝑥−∞ dt.
Если 𝛼=0 и 𝜎=1 , то нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным . Функция плотности имеет вид:
𝜑(𝑥)=1√2𝜋*𝑒−𝑥22.
Функция распределения случайной величины X~N (0,1) имеет вид:
Ф(x)=1√2𝜋∫𝑒−𝑡22𝑥−∞dt.
Установим вероятностный смысл параметров 𝛼 и 𝜎. Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию нормального распределения случайной величины X.
Подстановка: 𝑥−𝑎√2𝜎=t
1𝜎√2𝜋∫(√2𝜎𝑡+𝑎)∞−∞𝑒−𝑡2√2𝜎𝑑𝑡=𝜎√2√𝜋∫𝑡𝑒−𝑡2∞−∞dt+𝑎√𝜋∫𝑒−𝑡2∞−∞ dt=0+𝑎√𝜋*√𝜋=a
Т.е MX=a.
Первый интеграл равен нулю, так как подчинительная функция нечетная.
Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу относительно начала координат равно 0. Второй интеграл равен√𝜋.
Вероятносный смысл параметра 𝛼 –математическое ожидание .
При нахождении дисперсии случайной величины X~N (𝛼,𝜎) снова сделаем подстановку : 𝑥−𝑎√2𝜎=t
и применим метод интегрирования по частям:
DX= ∫(𝑥−𝑎)2∞−∞ f(x)
DX= ∫(𝑥−𝑎)2∞−∞*= 1 𝜎∗√2𝜋∗𝑒−(𝑥−𝑎)2 dx=
=2𝜎2√𝜋∫𝑡2∞−∞𝑒−𝑡2dt= 2𝜎2√𝜋(-12t 𝑒−𝑡2+ 12∫𝑒−𝑡2∞−∞𝑑𝑡)= 2𝜎2√𝜋*12√𝜋=𝜎2
Таким образом , DX=𝝈𝟐 ,а 𝜎 -среднее квадратичное отклонение.
𝜎(𝑥)=√𝐷(𝑥)=√𝜎2= 𝜎
𝜎= 𝜎(𝑥)
И так переменная 𝜎 -есть среднее квадратическое отклонение нормального распределения непрерывной случайной величины X.