Во время учебы в театральном вузе Александр Кобзарь познакомился с однокурсницей Верой, которая вскоре стала женой артиста и взяла себе фамилию Кобзарь. Они вместе уезжали в Донецк, вместе переходили из театра в театр. Поэтому Вера и Александр неразлучны и дома, и на работе. Супруги утверждают, что не устают друг от друга.
В 2016 году они даже вместе снялись в сериале «Родственнички», повествующем об отце, всеми силами стремящемся помирить рассорившихся сыновей. Но сама Вера считает себя театральной актрисой и на экране появляется редко.
Супруги создали крепкую семью и дали жизнь двум детям, которые получили старинные славянские имена. Сначала у них родилась дочь Варвара, а через несколько лет сын Прохор. Несмотря на сильную занятость, семейная пара как можно чаще старается проводить время с детьми.
Артист рассказал, что, хотя ребята еще маленькие и о будущей профессии малышей говорить рано, Варя уже мечтает лечить животных. Девочка очень любит кошек и собак.
Артист четко разделяет работу в кино и в театре. Первая – для заработка, вторая – для профессионального роста.