Парадокс теоремы Ферма

Парадокс теоремы Ферма

Великая теорема Ферма, доказательство которой на протяжение трех веков служило стимулом к развитию математики в ее краеугольной части – теории чисел.

• Математики не чаяли узнать разгадку до конца своей жизни Техника молодежи. № 10. 1993. С.26 .
• Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. Соросовский образовательный журнал. №2. 1998 .
• Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Гносеологическое введение в алгебраическую теорию чисел М.: Мир, 1980.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972.
• Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука, 1982.

В настоящее время, как и на протяжении прошлых трех столетий специалисты – математики, не нашедшие доказательства Великой теоремы, утверждают, что и ее автору не было известно доказательство.

• Еремин М.А. Последняя теорема Ферма. – г. Арзамас. ОАО «Арзамасская типография», 1999.

Однако уже более десяти лет существует доказательство Великой теоремы, полученное ученым из г. Новокузнецка Богданом Михайловичем Стефанюком, неизвестным в математических научных кругах. Рукопись статьи мне предоставил автор более двадцать лет назад. Правда, она на украинском языке. Посмотрел я лекцию А. Савватева " Жизнь после теоремы Ферма" в ютюбе. Отправил статью Стефанюка Б.М. ему с просьбой рецензирования. Ответа не получил. Вспомнил, что Стефанюк Б.М. отправлял статью в институт Математики и получил ответ, что теорема не актуальна.

Суть доказательства Стефанюка Б.М. Великой теоремы заключается в представлении трех чисел X, Y, Z в виде комбинации трех чисел r, s, j и доказательстве невозможности равенства через свойства четности и нечетности чисел r, s, j, одновременно входящих в выражения левой и правой части равенства.

Для доказательства теоремы Стефанюк Б.М. использовал уравнение эллиптической экспоиды

| X |n + | Y |n =| Z |n

замечательные свойства которой им были исследованы в 1985 – 1991 гг.

• Стефанюк Б.М. Эллиптическая экспоида. Рук. деп. в ВИНИТИ 15.03.1985. № 1892 – 85 Деп.
• Стефанюк Б.М. Аддитивные свойства эллиптической экспоиды. Рук. деп. в ВИНИТИ 01. 08.1991. № 3303 – 91 Деп.

Уравнение эллиптической экспоиды имеет график симметричный относительно координатных осей, причем если n=2, то экспоида превращается в окружность радиуса Z.

При n > 1, график представляет собой выпуклую кривую симметричную относительно диагонали координатного угла и имеющую касательные в точках пересечения координатных осей.

При n < 1, график представляет собой вогнутую кривую, симметричную относительно диагонали координатного угла и имеющую в качестве касательных координатные оси.

Если нормировать уравнение экспоиды делением на Z, то все семейство экспоид будет располагаться в пределах единичного квадрата. В этом случае n < 1 формирует подсемейство выпуклых кривых, а n > 1 – вогнутых.

Доказательство Б.М. Стефанюка стимулировало поиск более простого доказательства.

Результаты этого поиска приведены ниже. Но остался неясным вопрос: " Почему такие доказательства на уровне 7-8 класса средней школы не представлены в учебниках рядом с теоремой Пифагора?" Может быть найдутся знающие люди и откроют мне эту тайну

Доказательство Великой теоремы Ферма №1

«Никто не объемлет необъятного»

Козьма Прутков

"Если нельзя, но очень хочется, то можно"

Шолом Алейхем

"Строгое (дедуктивное) доказательство или так называемая «демонстрация» применяется в том случае, когда тезис возможно подтвердить неким набором положений, аргументов или оснований доказательства, которые признаются истинными"

wikipedia.org

Великая теорема Ферма

Xn+Yn ≠Zn ,

где X, Y и Z - целые положительные числа,

n - степень, целое положительное число больше 2.

Постулаты.

1. Целые положительные числа это - множество натуральных чисел (1,2,3,4,...n) и ноль (0).

2. Положительные рациональные числа - это множество дробей n/k, где n и k - целые положительные числа.

3. Аддитивность целых положительных чисел: для любых n и k - целых положительных чисел всегда найдется такое m - целое положительное число, равное сумме n и k.

Геометрическая интерпретация.

3а. Для отрезков n, k и m, лежащих на одной прямой, сумма длин отрезков n и k, равна длине отрезка m . Если в точку начала отрезка n поместить начало отрезков m, и в точку конца отрезка n поместить начало отрезков k то концы отрезков k и m будут располагаться в одной точке.

3б. Для отрезков n, k и m, не лежащих на одной прямой, но лежащих в одной плоскости, сумма длин отрезков n и k, неравна длине отрезка m, и расположение концов отрезков n, k и m будет соответствовать точкам вершин треугольника.

4. Аддитивность положительных рациональных чисел; для любых положительных рациональных чисел (n/k) и (l/m) всегда найдется такое (p/q) - положительное рациональное число, равное сумме(n/k) и (l/m).

5. Существует взаимно-однозначное отображения множества целых положительных чисел на множество рациональных чисел меньше 1.

6. Доказательство от противного - это строгое (дедуктивное) доказательство противоположного тезиса, в результате которого устанавливается противоречие, что означает истинность исходного тезиса.

Согласно методу доказательства от противного предложен тезис, что возможна селекция

целых положительных чисел X,Y,Z - больше ноля и n по принципу:

Xn+Yn= Zn (1).

Случай 1. n =0

Тогда Xn+Yn= Zn представляется X0+Y0= Z0 1+1= 2 ≠1. (2)

Не выполняется постулат 3.

Случай 2. n =1

Тогда Xn+Yn= Zn представляется X1+Y1= Z1 (3)

Постулат 3 -3а выполняется.

(X/ Z) 1+(Y/ Z) 1= (Z/ Z) 1 =1 (4)

Постулат 4 выполняется.

Случай 3. n =2.

Тогда Xn+Yn= Zn представляется X2+Y2= Z2 (5)

X2+Y2= Z2 преобразуем в X X+ Y Y= Z Z и представим в виде aX+ bY= cZ (6).

Для выполнения постулата 3, то есть совпадения формулы (6) с формулой (3) необходимо чтобы a=b=c=1, то есть X=Y= Z =1 , что соответствует формуле (2), согласно которой постулат 3 3 - 3а не выполняется, но для условия 3-3б доказана теорема Пифагора, согласно которой среди множества троек целых положительных чисел всегда можно найти такие три целых положительных числа, которые являются квадратами целых положительных чисел и соответствуют уравнению

X2+Y2= Z2 (7).

Множество целых положительных чисел, удовлетворяющих уравнению (5), в геометрической интерпретации, представлено точками на окружности, радиус которой равен Z.

Все окружности с целочисленным положительным радиус Z можно взаимно-однозначно отобразить на окружность радиуса 1.

(X/Z)2+(Y/ Z)2= 1 (8).

Случай 4. n =3.

Тогда Xn+Yn= Zn представляется X3+Y3= Z3 (9)

X3+Y3= Z3 преобразуем в X X2+ Y Y2= Z Z2 и представим в виде aX2+bY2=c Z2 (6).

Для выполнения теоремы Пифагора необходимо, чтобы a=b=c=1. Но в этом случае X=Y= Z =1 и не будет выполняться постулат3 аддитивности чисел, поскольку X=1 Y=1 Z =1

(X/ Z) 3+(Y/ Z) 3= (Z/ Z) 3 1+1= 2 ≠1

Случай 5. n =g, 2 <g <∞

Тогда Xn+Yn= Zn представляется Xg+Yg= Zg

Xg+Yg= Zg преобразуем в Xg-2 X2+ Yg-2 Y2= Zg-2 Z2и представим в виде aX2+bY2=c Z2 Для выполнения теоремы Пифагора необходимо, чтобы a=b=c=1. Но в этом случае X=Y= Z =1 и не будет выполняться постулат 3 аддитивности чисел, поскольку X=1 Y=1 Z =1

(X/ Z) g+(Y/ Z) g= (Z/ Z) g 1+1= 2 ≠1.

Таким образом доказано, что Великая теорема Ферма Xn+Yn ≠Zn верна: во множестве целых положительных чисел невозможно найти три числа X,Y и Z, для которых справедлив принцип селекции Xn+Yn = Zn .

Доказательство Великой теоремы Ферма№2

Великая теорема Ферма

Xn+Yn ≠ Zn ,

где X, Y и Z - целые положительные числа,

n - степень, целое положительное число больше 2.

Постулаты.

1. Целые положительные числа это - множество натуральных чисел (1,2,3,4,...n) и ноль (0).

2. Положительные рациональные числа - это множество дробей n/k, где n и k - целые положительные числа.

3. Существует взаимно-однозначное отображения множества целых положительных чисел на множество рациональных чисел меньше 1.

4. Доказательство от противного - это доказательство противоположного тезиса, в результате которого устанавливается противоречие, что означает истинность исходного тезиса.

Предположим, что выполняется равенство

Xn+Yn= Zn (1).

Пусть X<Y< Z выполним преобразование

(X/Z)n+(Y/Z)n= (Z/Z) n =1 (2).

Известно, что равенство выполняется при n = 2, что представляет собой теорему Пифагора. Доказательство теоремы в школьном учебнике геометрии.

Равенство (2) показывает, что всё множество окружностей радиуса Z может быть сжато до окружности радиуса 1, при этом множество точек X и Y, которые располагались на ортогональных числовых осях в интервалах: 1 ≤X< ∞; 1≤Y< ∞ перейдут в точки внутри окружности радиуса 1: 0 < X/Z ≤ 1; 0<Y/Z ≤ 1.

Для чисел (X/Z) <1 и (Y/Z) <1 справедливы неравенства при n > 2:

(X/Z)n < (X/Z)2≤ 1 (3);

(Y/Z)n < (Y/Z)2 <1 (4).

Просуммируем почленно неравенства (3) и (4), получим

(X/Z)n+(Y/Z)n < (X/Z)2+ (Y/Z)2 ≤ 1 (5).

Откуда следует, что

(X/Z)n+(Y/Z)n <1 (6).

Пусть существует число

аn < 1, (7)

которое будет удовлетворять равенству

(X/Z)n+(Y/Z)n = аn (8).

Тогда обратное преобразование даст выражение

Xn+ Yn = аn Zn (9)

Правая часть которого

аn Zn ≠ Zn (10)

поскольку верно (7) , т.е. аn < 1.

Таким образом предположение, что существуют три числа из множества целых положительных чисел (1,2,3,4,...n), которые удовлетворяют равенству (1) Xn+Yn= Zn. Следовательно справедливо неравенство

Xn+Yn ≠ Zn