Очень часто в школе мы сталкивались с задачами и вопросами, которые на первый взгляд казались очень простыми в решении, но на самом деле имели свои подводные камни. Вот пример задач по механике из школьного курса физики.
Первая задача
наиболее простая, о средней скорости. Большинство читателей ее должны хорошо знать со школьной скамьи.
Автомобиль первую треть пути передвигался по бездорожью со скоростью 30 км/ч, после выехал на поселковую дорогу и следующую треть пути двигался со скоростью 60 км/ч. Последнюю треть пути автомобиль ехал по автотрассе со скоростью 25 м/с. Необходимо определить среднюю скорость движения автомобиля.
Вторая задача
уже посложнее. Как должна меняться с высотой скорость искусственного спутника Земли с высотой движущегося по круговой орбите?
Третья задача
Третья задача– парадокс. Здесь необходимо уже оперировать знаниями, связанными с действиями над векторами. Всем хорошо известно, что скорость, ускорение, сила и ряд других физических величин имеют направление, то есть являются векторными величинами.
Одно из самых простых действий которое мы можем производить с векторами – сложение.
Итак, задача: два автомобиля движутся навстречу друг другу со скоростями 90 и 110 км/ч соответственно. С какой скоростью сближаются эти автомобили?
Вроде бы все просто, 90+110=200 км/ч скорость сближения автомобилей, но если мы вспомним правила сложения векторов, то эти два вектора направлены в разные стороны и при сложении они должны «вычитаться» один из другого по абсолютной величине. Получается, что скорость сближения составляет каких-то 20 км/ч. А если скорости автомобилей будут одинаковы, то и скорость сближения станет 0 км/ч.
Итак, если вы не знаете решения этих задач, то читаем дальше.
Разбор первой задачи
Очень часто при решении этой задачи уделяют внимание скорости на третьем участке 25 м/с, единицы измерения которой отличается от первых двух (км/ч). Приводят единицы к одному стандарту: 25 м/с = 90 км/ч. После находят среднее арифметическое, аргументируя тем, что все три участка равны:
(30 км/ч + 60 км/ч + 90 км/ч)/3 = 60 км/ч
И это решение является неправильным.
Для того, чтобы решить данную задачу необходимо вспомнить из курса физики, что такое средняя скорость. Средняя скорость — это величина, которая показывает с какой постоянной скоростью необходимо двигаться, чтобы пройти весь путь за данное время. Значит средняя скорость находится как отношение всего пути ко всему времени, а не как среднее арифметическое.
В задаче время движения нам неизвестно, но мы знаем, что все три участка одинаковы и знаем скорости на этих участках. Если на прохождение первого участка ушло время t, то из-за увеличения скорости в 2 раза на втором участке, время оказалось в 2 раза меньше t/2, на третьем соответственно t/3 и общее время T=t+t/2+t/3 => T=11t/6. Весь путь 3S (если считать, что каждый участок S). Тогда средняя скорость определяется как 3S:Т=3S:11t/6 (если делить на дробь, то она переворачивается и мы просто умножаем на перевернутую дробь) 3S*6/11t = 18S/11t, где S/t это скорость на первом участке. Получается, что нам нужно скорость на первом участке умножить на дробь 18/11 и получим примерно 49,1 км/ч, что гораздо меньше, чем 60 км/ч.
Разбор второй задачи
Казалось бы, зная, что спутник движется по окружности и ускорение свободного падения для него является центростремительным. Если выразить из формулы центростремительного ускорения скорость, то можно увидеть, что при увеличении радиуса орбиты, скорость так же должна увеличиваться. Если радиус орбиты увеличится в 4 раза, то скорость должна увеличиться в 2 раза. Вроде все логично, ведь увеличение радиуса орбиты приводит к увеличению ее длины, соответственно спутник должен проходить большее расстояние при вращении, а значит и скорость должна быть больше, но это не так.
В этом решении мы забываем, что ускорение свободного падения будет зависеть от расстояния до центра Земли. В школе ошибочно многие считают, что ускорение свободного падения постоянная величина и равна 9,81 м/с^2, но это справедливо лишь на поверхности Земли, при удалении от нее, g будет изменяться.
Между Землей и спутником происходит взаимодействие по закону всемирного тяготения
Если записать действие этой силы на тело по II закону Ньютона, то мы получим силу тяжести:
приравняем правые части:
Сократим массу спутника m
Так как g у нас является центростремительным ускорением
то получаем уравнение:
откуда находим скорость:
Здесь мы замечаем, что радиус орбиты в знаменателе, что означает при увеличении орбиты в 4 раза, скорость спутника должна в 2 раза уменьшится.
Чем выше летит спутник, тем меньше его скорость. Это возможно кажется странным, но на самом деле это так. Например спутники на геостационарной орбите, радиус которой около 42 тыс. км, движутся со скоростью 3,07 км/с, что в 2,5 раза меньше первой космической скорости 7,9 км/с.
Разбор третей задачи
Вся проблема задачи состоит в том, что скорости автомобилей задаются относительно земли, а скорость сближения рассматривается уже относительно какого-либо автомобиля. То есть выбраны разные тела отсчета. Если рассматривать скорости относительно земли, то скорости автомобилей независимы друг от друга и складывать их нельзя! Если мы находимся в автомобиле который перемещается со скоростью 90 км/ч, то он для нас становится телом отсчета и в этой ситуации можно говорить, что это полотно дороги движется относительно автомобиля со скоростью 90 км/ч, а автомобиль покоится (такая вот странная относительность :)
В такой ситуации получается, что встречный автомобиль движется по трассе со своей скоростью (110 км/ч) и трасса добавляет ему свою скорость (90 км/ч) и получаем наши 200 км/ч скорость сближения. В этой ситуации встречный автомобиль движется по трассе, которая так же находится в движении относительно автомобиля наблюдателя. В этом случае скорости зависимы, так как тела непосредственно взаимодействуют (автомобиль и трасса) и вектора можно сложить.