Спасибо, что читаете эту статью!
Перед нами стоит непростая задача: научиться решать квадратные уравнения (от одной переменной). Для начала разберёмся, что это вообще такое.
Возьмём какое-нибудь квадратное уравнение:
В данном случае, в левой части равенства мы видим три слагаемых: x в квадрате, 2х и 1. Слово "уравнение" означает, что эту сумму мы приравниваем к правой части, в данном случае, к нулю. Квадратное же, или по-другому уравнение второй степени, оно потому, что в обеих частях равенства стоит некоторая сумма x в степени не выше 2: 1 это тоже на самом деле степень x, только нулевая.
В общем случае квадратное уравнение выглядит как
Если в правой части стоит не 0, а тоже какое-то выражение, то его можно перенести в левую часть, получив уравнение вида уравнения выше. Домножением на -1 всего уравнения можно добиться того чтобы a было положительным. Действительно, выражение-то равно нулю, значит можно его смело умножать на любое число, нулём оно и останется. Зачем это делать? Хороший вопрос, ответ на который я дам далее в тексте)
Теперь давайте научимся его решать!
В этой публикации я расскажу о самом простом для запоминания методе решения квадратного уравнения. Не во всех случаях удобно применять именно его, зато он будет полезен для того, чтобы разобраться в том что происходит. Кроме того, чтобы его применять, не нужно специально запоминать никаких формул!
Итак, метод выделения полного квадрата. Идея состоит в том, чтобы преобразовать левую часть уравнения в более удобный вид, выделив полный квадрат, то есть подобрав такие числа p, q, r, для которых выполняется следующее равенство
Как вы понимаете, подобрать такие p, q, r может оказаться сложной задачей, особенно, если они должны оказаться нецелыми. Однако иногда это удаётся довольно просто, например, в случае уравнения на первой картинке, в левой части просто стоит полный квадрат выражения (x+1). В любом случае, даже если числа не подбираются сразу, их всё равно можно быстро найти. Главное - действовать последовательно)
Действительно, раскроем скобки в правой (желаемой) части.
Для того чтобы всё это хозяйство равнялось нашему исходному
Надо, чтобы все соответствующие коэффициенты при степенях х были равны, а именно:
Отсюда можно последовательно найти p, потом q, потом r: из первого равенства p можно взять равным корню из а (тут-то нам и пригодилась положительность а, будь оно отрицательным, не нашли бы мы такое p), из второго равенства q = b/2p. Затем из третьего равенства получаем r. Можете проделать это самостоятельно и проверить ответ
Зачем же мы все это делали? Дело в том, что теперь нам гораздо проще решить данное уравнение, а главное - сразу понятно, сколько решений оно имеет
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит если r > 0, то левая часть уравнения тоже будет положительна при любом х. Если r = 0, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда (часто сокращается до т. и т. т. к.) px + q = 0, то есть наше уравнение сводится к линейному и имеет одно решение. Самый интересный случай - когда r < 0. В этом случае уравнение будет иметь два решения. Действительно, квадрат (px + q) должен быть равен -r (внимание, всё нормально, поскольку r отрицательно, то -r как раз положительно). Но это бывает ровно в двух случаях, когда (px + q) равно корню из (-r), или противоположному ему числу. Тогда решениями уравнения будут следующие два числа:
Пример
Спасибо за внимание!