Всем привет! Возвращаемся в рутинный разбор ЕГЭ по математике. На очереди у нас часть С4 и планиметрическая задачка на окружности. Как же я не завидую вам, если она попадется...
Шутки в сторону, задачка реально сложная. Даже нарисовать её не так то просто. Давайте разбираться в ней!
Вот сама задачка. Много информации, много всяких прямых и точек пересечения. Давайте попробуем это все нарисовать. Делайте рисунки большие и аккуратные, чтобы было меньше шансов запутаться!
И так, у нас есть две окружности, прямая, которая касается каждой из них, прямые, которые пересекают эти окружности в точках. Образуется много треугольников. И никаких цифр нет. Не будем отчаиваться!
Часть А
Для начала проведем еще одну касательную к окружностям, которая будет касаться обеих окружностей в общей точке. Надо это нам для того, чтобы далее использовать свойство касательных, проведенных из одной точки. По этому свойству касательные будут равными: КМ=МА, КМ=МВ.
Во-первых, мы получаем много равнобедренных треугольников, а во-вторых, по свойству медианы, которая равна половине стороны, к которой проведена, мы получаем еще и прямоугольный треугольник АКВ.
Далее мы получаем еще один прямоугольный треугольник KDA. Так как он основан на прямом вписанном угле, получаем, что DA-диаметр. А диаметр, проведенный из точки касания перпендикулярен касательной. Аналогично получаем перпендикулярный диаметр во второй окружности. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Что и следовало доказать.
Часть Б
В этой части нам нужно найти площадь треугольника АКВ, если известны только радиусы окружностей. Для решения этого пункта нужно составить трапецию АВСD, разбить ее на четыре треугольника, найти как относят площади этих треугольников, найти площадь трапеции. Все по порядку.
Треугольники ADK и BKC подобны. Их коэффициент подобия равен 4, так как построены они на диаметрах окружностей, радиусы которых нам известны. Площади их будут относиться, как коэффициент подобия в квадрате. Площадь BKC равна S, а площадь ADK - 16S.
Треугольники ADK и ABK имеют общую высоту и их площади буду относиться, как и их высоты. Значит треугольник ABK будет равен 4S.
Аналогично найдем треугольник CDK, у которого площадь будет равна также 4S.
Сложим все площади и найдем, что площадь трапеции равна 25S. Осталось найти численную площадь трапеции. Она равна полусумме оснований на высоту. Основания у нас известны, осталось найти только высоту. Для этого проведем ее, O2H. И теперь из прямоугольного треугольника O1O2H найдем величину высоты:
Далее приравняем площади и найдем площадь нужного нам треугольника:
Она равна 4S или 3.2.
Фух, вот это потная катка была. Надеюсь, вам было все понятно! Заходите каждый день за новыми статьями!