Гидростатика.
Запишем уравнение Эйлера равновесия жидкости и дайте его объяснение.
- ∂p/∂x +ρX = 0
- ∂p/∂y +ρY = 0 (1)
- ∂p/∂z +ρZ = 0
где X, Y, Z – проекции ускорения массовых сил (например, силы тяжести, центробежной, инерции или комбинации некоторых из них) на соответствующие оси. Выражение (1) это дифференциальные уравнения равновесия как для сжимаемой (ρ – плотность жидкости не является величиной постоянной, ρ ≠const) так и для несжимаемой жидкости. Совместное решение этих уравнений даёт формулу:
dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz), (2)
являющейся основным дифференциальным уравнением гидростатики. Выражение в скобках правой части этого уравнения можно определить как полный дифференциал некоторой потенциальной функции U. После интегрирования получим:
p = ρU + С.
В частных случаях в зависимости от конкретных значений проекций ускорений массовых сил X, Y, Z определяется соответствующие значения потенциальной функции U, постоянной интегрирования С и давления p. Например, для несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести получим:
p = p0 + ρ•g(z0 - z) = p0 + γ(z0 - z) = p0 + γh.
Уравнение :
p = p0 + γh,
называется основным уравнением гидростатики для несжимаемой жидкости,
где p- полное (абсолютное) давление; p0 – внешнее давление; γh - избыточное (манометрическое) давление в данной точке. Следовательно, полное гидростатическое давление равно сумме внешнего и избыточного давления.
Что такое живое сечение потока, смоченный периметр, гидравлический радиус?
Живым сечением потока ω называют поверхность, в каждой точке которой нормаль совпадает с направлением вектора скорости
При равномерном потоке поверхность вырождается в плоскость.
Смоченным периметром χ называется линия пересечения живого сечения потока с твердыми стенками.
Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого потока ω к длине смоченного периметра χ
R = ω/χ .
Критерии подобия
Запишем критерии Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Архимеда и объясним их физический смысл.
Критерий Рейнольдса, это безразмерный комплекс, представляющий собой среднюю меру отношения сил инерции к силам трения:
Re = ρvd/μ = vd/ν , (1)
где ρ- плотность, кг/м3; v- скорость потока, м/сек; d- линейный размер (диаметр). м; μ- динамическая вязкость, Па•сек; ν- кинематическая вязкость, м2/ сек.
Критерий Эйлера имеет смысл безразмерной неизвестной переменной давления Δp. Распределение давления в исследуемом потоке является следствием физической обстановки , которая сложилась при движении жидкости, поэтому перепад давления Δp является величиной искомой, а не заданной.
Eu = Δp/(ρv^2 ) , (2)
Критерий Фруда, это безразмерный комплекс, представляющий собой среднюю меру отношения сил инерции к силам тяжести:
Fr = v^2/ρd , (3)
Критерий Архимеда, безразмерный комплекс, характеризующий неоднородное поле плотности Δρ/ρ сложившееся при движении жидкости.
Ar = g d^3/v^2 Δρ/ρ , (4)
где g - ускорение силы тяжести, м/сек2.
Некоторые вопросы гидродинамики
Как определяется величина коэффициента гидравлического сопротивления при турбулентном течении в трубах?
Коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси) λ при турбулентном течении в напорных трубопроводах рекомендуется определять по формуле Альтшуля:
λ =0,11 〖(k_э/D+ 68/Re)〗^0,25 ,
где k_э- абсолютная эквивалентная шероховатость, мм; D - диаметр трубопровода, м; Re - критерий Рейнольдса.
Гидростатика
Пример 1
Построить эпюры избыточного о давления воды на стенки ломаного очертания (Рис.1). Определить силы давления на 1м ширины вертикальной и наклонной части стены и точки их приложения, если глубина воды h, длина вертикальной части стены АВ – hАВ, угол наклона стены ВС к горизонту 30.
Решение.
Дано: h= 7,0 м; hАВ= 5,0 м.
1.Эпюра давления, это график показывающий распределение гидростатического давления по смоченной поверхности.
Для построения эпюр гидростатического давления на стенки АВ и ВС необходимо найти величины гидростатического давления в точках А, В и С по формуле:
Pизб= γh,
где γ- удельный вес воды, принимаем 10 кН/м3; h- глубина погружения данной точки.
РА= 0; РВ= 10•5 = 50 кПа; РС= 10•7 = 70 кПа.
2.Определение силы гидростатического давления на вертикальную и наклонную части стены вычисляем по формуле
Ризб= рЦТ•ω,
где рЦТ- давление в центре тяжести смоченной поверхности, Па (Н/м2);
ω – площадь смоченной
Участок АВ: Ризб= 2,5•10•1•5 = 125 к Па.
Точка приложения суммарной силы избыточного гидростатического давления, называется центром давления. Положение центра давления определим по формуле:
где lЦД - расстояние в плоскости стенки от центра давления до свободного уровня жидкости, м; lЦТ - расстояние в плоскости стенки от центра тяжести стенки до свободного уровня жидкости, м; ω – площадь смоченной поверхности, м2; J - момент инерции смоченной плоской площадки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести, который определяется по формуле :
где b – ширина стенки, м; l – длина стенки, м. Центр давления на участке ВА:
Участок ВС: Ризб= 6•10•1•2 = 120 к Па.
Пример 2
Определить давление воды в узком сечении трубопровода, если давление в широкой его части . Расход воды, протекающей по трубопроводу Q (л/с), диаметры труб соответственно узкого и широкого сечения d1 и d2.
Режим движения воды в трубопроводе - турбулентный.
Решение.
Дано: p2= 30 кПа; Q = 9 л/с; d1 = 40 мм; d2 = 150 мм.
Для определения давления воды p1 нужно составить уравнение
Д. Бернулли для двух сечений 1-1 и 2-2 потока воды (рис.2) (индексы при членах уравнения соответствуют номерам выбранных сечений) Плоскость сравнения О-О проведем по оси трубопровода.
Рис.2
Для данной задачи уравнение Д.Бернулли имеет вид6
где z1 и z2 - удельная энергия положения, или расстояние от центра тяжести сечений 1-1 и 2-2 до плоскости сравнения 0-0, м, в нашем примере z1 = z2 = 0, т.к. плоскость сравнения 0-0 проходит через центр тяжести сечения трубы;
и - удельная энергия давления или высота поднятия воды в пьезометрах, установленных соответственно в сечениях 1-1 и 2-2, м;
и – давление воды в соответствующих сечениях, кН/м2;
-удельная кинетическая энергия или скоростная высота в сечениях 1-1 и 2-2,м;
-средняя скорость соответственно в сечениях 1-1 и 2-2, м/с;
α1 и α2 – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока, безразмерная величина, для турбулентного движения можно принять равным единице;
- потеря напора при внезапном расширении сечения, определяется по формуле Борда, м:
Преобразовав уравнение Д.Бернулли относительно p1 получим:
.
В полученном уравнении помимо неизвестны скорости и . Их вычислим, при заданном расходе и диаметрах труб, и используя уравнение неразрывности струи:
где и - площади живых сечений трубопроводав сечениях1-1 и 2-2, которые вычисляются по формулам:
и
Произведя вычисления площадей ω1 и ω2, скоростей v1 и v2 определим неизвестную величину давления p1:
v2= v1=
Пример 3
Определить потери напора (H) в трубопроводе диаметром d и длиной L, по которому перекачивают нефть с υ= 2,5*10-4м2/с. Разность отметок начала и конца трубопровода – hОТМ. Объёмный расход – Q м3/с. Данные для своего варианта возьмите из таблицы 4.
Решение.
Дано: d = 0,18 м; L = 900 м; hотм=15 м; Q = 0,0020 м/с; υ = 2,5•10-4м/с.
Общие потери напора можно вычислить как сумму разности отметок трубопровода и потерь напора на трение. Потери напора на трение вычисляют по формуле Дарси-Вейсбаха:
де λ- коэффициент гидравлического трения;
v – средняя линейная скорость, которая находится как частное от деления объёмного расхода на площадь живого сечения потока, м/с.
Значение коэффициента гидравлического трения λ для ламинарного режима течения можно определить по формуле Пуазейля:
Re –число Рейнольдса, которое можно вычислить по формуле:
Подставив данные в задании величины в критерий Рейнольдса и формулу Пуайзеля, определим потери напора на трение h.
Общие потери напора в трубопровод диаметром d = 0,18 м и длиной L = 900 м составят: H = hотм+ h = 15 + 1,77 = 16,77 м