Принцип распространения света был сформулирован еще в 1650 году известным математиком П. Ферма, который также известен своими работами в области геометрической оптики. Это правило еще называют принципом наименьшего времени. Звучит оно следующим образом:
свет распространяется так, чтобы время его прохождения от одной точки к другой было наименьшим.
Подобное правило было известно еще до работ П. Ферма, но в виде принципа наименьшего пути:
свет распространяется так, чтобы длина пути при прохождении от одной точки к другой, была наименьшей.
Однако это утверждение противоречило имеющимся фактам, и П. Ферма исправил эту формулировку.
Получим закон отражения света, исходя из принципа Ферма. Пусть источник света находится в точке S, а наблюдатель в точке О1 (рис. 1). Нужно найти такую точку М, чтобы после отражения от нее суммарное время прохождения от S к О1 было минимальным.
Это задача математики, которую проще всего решить геометрически. Для этого построим точку О2 , симметричную точке О1 относительно поверхности отражения. Точку падения луча на поверхность отражения обозначим буквой М.
Рассмотрим треугольники MNO1 и MNO2. Очевидно, что эти треугольники одинаковы, поскольку они прямоугольные, имеют общий катет MN, а катеты NO1 n и NO2 равны по построению. Следовательно, задачу можно сформулировать следующим образом:
Нужно найти такую точку М, чтобы суммарный путь SM и MO2 был бы наименьшим по времени. Поскольку свет после отражения идет в той же среде, принцип наименьшего времени в данной задаче эквивалентен принципу наименьшего пути.
Очевидно, что путь SM + MO2 будет наименьшим, если точки S и O2 соединить отрезком прямой. Длина этого отрезка как раз и будет минимальным расстоянием между точками S и O2 .
Поскольку углы, отмеченные на рис. 1 двумя дугами, равны, равны будут и углы падения и отражения, обозначенные буквой aльфа.
Таким образом, мы получили закон отражения света: угол падения равен углу отражения. Для полной формулировке необходимо еще добавить, что падающий и отраженный луч лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восставленным в точке М к плоскости отражения.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда свет не отражается, а проходит во вторую среду. Используя принцип наименьшего времени, можно показать, что в этом случае выполняется закон преломления света (рис. 2).
Математическое доказательство здесь более сложное и опирается на раздел высшей математики, который называется вариационным исчислением. Но подход аналогичен рассмотренному случаю.
В рассмотренном примере мы привели задачу физики к задаче математики. Но возможно и обратное, когда математическую задачу проще решить, применив законы физики. Например, пусть человек идет из точки S в «среде» 1, где он двигается с одной скоростью, в точку М среды 2, где он перемещается с другой скоростью. Поставим задачу: как нужно двигаться, чтобы попасть из точки S в точку М за наименьшее время?
Исходя из принципа Ферма, мы сразу можем сказать, что нужно перемещаться так, как двигался бы световой луч. Таким образом, рассчитать траекторию перемещения можно, применив закон преломления света.
Пример такой задачи будет рассмотрен в одной из последующих публикаций.
Подробный разбор принципа Ферма можно посмотреть на моем канале в You Tube