Мне часто попадаются интересные задачи. Большинство из них люди задают в моем чате в telegram ( @math_code ). И в силу того, что моя работа связана с образовательной деятельностью, мне интересно разбирать эти задачи подробно, описывать решение простым языком и делиться со своими учениками в группе вк.
Итак, задача:
Чему равен предел lim[ I(a) ] при a → 0 если в качестве I(a) выступает интеграл: I(a) = Int( x⁵ ⋅ ( cos(a²x) + sin(5a²x) )^(x/a²) ) dx
в пределах от 2^a до 2^(a+1).
Так как предел считается от параметра, а параметр не зависит от переменной интегрирования, то вполне законно пронести предел внутрь выражения и применить его только к той части, которая представляет наибольшую сложность. Аппроксимация сводит выражение ко второму замечательному пределу. А дальше дело за аккуратными вычислениями интегралов по частям.
Теперь предлагаю возможное решение такой задачки.
НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ: Фото в высоком качестве
У некоторых может возникнуть следующий вопрос:
Функция перестала быть периодической, разве решение не ошибочно?
Дело в том, что при параметре, который стремится к нулю, гармонические составляющие подынтегральной функции можно с большой точностью заменить линейными составляющими в полиномиальном разложении. Здесь уже вопрос допустимой абстракции. Если честно брать интеграл, пытаться по частям это делать, то получатся огромнейшие выкладки и сложнейшие производные или интегралы, которые не будут браться аналитически. Поэтому в любом случае, единственным выходом остается разложить гармонические составляющие в ряд Маклорена/Тейлора и в зависимости от желаемой точности взять интеграл от полученного степенного ряда. Если параметр стремится в ноль, то можно ограничиться первыми линейными приближениями. Если бы параметр не стремился в ноль, то взять большее количество членов в разложении и решить более точно аналитически или численно. Поэтому потеря периодичности не всегда значима и зависит от частоты этой периодичности.
Однако, и здесь не всё так хорошо. В решении есть одна некорректность, которая лишает его полноценной математической строгости. Увидели?
Если нет, тогда давайте подумаем :)
Проблема в переходе от предела интеграла к пределу подынтегрального выражения. Получается, что мы берем предел по a -> 0, при этом пределы интегрирования все еще содержат параметр. Получается, что мы неявно берем два раза предел. Возможное решение этой проблемы: сначала в интеграле сделать замену переменной интегрирования x = t*2^a. Тогда параметр из пределов интегрирования перемещается в подынтегральное выражение и все становится на порядок честнее :)
Итак, еще разок. В чем была проблема? Есть нехороший факт, что я пронес предел сквозь интеграл, не тронув пределы интегрирования, хотя они зависят от параметра, по которому нужно определить предел. То есть учел стремление к нулю параметра в пределах интегрирования уже после. На вычисления это не повлияет, но математическая строгость немного нарушена. Поэтому замена переменных должна была произойти раньше.
Вот такая вот задачка. Если вам понравилось, поставьте пожалуйста лайк, напишите комментарий. Ну а если не понравилась, то напишите что не понравилось. Чтобы я понимал какой контент интересен, а какой нужно уменьшать :)
