В статье «Такие не простые простые числа!» мы сказали, что простые числа подобны кирпичикам, из которых путём умножения можно построить (составить) любое составное число.
Примеры:
6 = 2 · 3
77 = 7·11
Возникает вопрос: А можно ли составные числа составить из простых чисел сложением?
Действительно, такой вопрос был выдвинут, была сформулирована соответствующая гипотеза, которая носит название «гипотезы Гольдбаха».
Заметим, что обычно говорят о «проблеме Гольдбаха» (в частности, так называется статья в Википедии), что с методологической точки зрения есть большая ошибка. То утверждение, которое называют «проблемой Гольдбаха», представляет собой предположение, пока не доказанное, поэтому нужно его называть «гипотезой Гольдбаха». Когда гипотеза Гольдбаха будет доказана, тогда её можно будет назвать «теоремой Гольдбаха» (теоремой называют доказанное математическое утверждение). Нельзя утвердительное предложение без постановки какой-либо задачи или знака вопроса в конце предложения называть проблемой. Только если спереди подставить слова «доказать, что» (или сформулировать в виде вопроса), тогда с полным правом можно использовать название «проблема Гольдбаха». Доказать гипотезу, превратить её в теорему — такова задача, стоящая перед математиками (или проблема, problem — англ.)
В 1900 году на заседании второго Международного Конгресса математиков в Париже выступил немецкий математик Давид Гильберт с докладом, который назывался «Математические проблемы», в котором он перечислил 23 нерешённые задачи, стоящие перед современной и будущей математикой. Гипотеза Гольдбаха, как одна из недоказанных, была в списке под номером 8 вместе с гипотезой Римана под общим названием «Проблема простых чисел».
Немецкий и российский математик, действительный член и первый конференц-секретарь Петербургской Академии наук, статский советник при Коллегии иностранных дел Кристиан Гольдбах (1690-1764) занимался дешифровкой корреспонденции европейских послов в Петербурге. Процесс шифровки и дешифровки секретных сообщений тесно связан (по настоящее время) с простыми числами, поэтому Гольдбаху были интересны свойства простых чисел с профессиональной точки зрения (помимо того, что простые числа интересны любому математику сами по себе). Гольдбах вёл интенсивную переписку с великим немецким (а также швейцарским и российским) математиком Леонардом Эйлером (1707-1783). 7 июня 1742 года он отправил Эйлеру очередное письмо, в котором высказал следующую гипотезу:
Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
Легко проверить справедливость данного утверждения для небольших чисел.
7 = 2+2+3
9 = 3+3+3 = 2+2+5
11 = 3+3+5 = 2+2+7
13 = 7+3+3 = 5+5+3
15 = 7+5+3 = 11+2+2
17 = 11+5+2 = 11+3+3
Напомним, что простыми называют числа, которые делятся только на единицу и на само себя.
Эта гипотеза позже получила название тернарной (от слова «три») гипотезы Гольдбаха.
Эйлер заинтересовался представлением чисел в виде суммы простых чисел и в своём ответном письме Гольдбаху сформулировал более сильное утверждение:
Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 5+3
10 = 7+3
12 = 7+5
14 = 11+3
Эйлер проверил справедливость своей гипотезы для всех чётных чисел до 2500 включительно.
Это утверждение получило название бинарной (от слова «два») гипотезы Гольдбаха (или гипотезы Гольдбаха в формулировке Эйлера, или гипотезы Эйлера, или просто — гипотезы Гольдбаха). Первую гипотезу называют также слабой, а вторую — сильной. Если бы удалось доказать сильную гипотезу, то автоматически была бы доказана слабая, т. к. прибавив ко всем чётным числам по тройке, мы получили бы все нечётные числа и одновременно третье простое слагаемое в сумме разложения (то есть, прибавляя число 3 к обеим частям равенств из второго столбика, мы получили бы первый столбик равенств).
Именно сильную гипотезу Гольдбаха имеют в виду, когда говорят о гипотезе/проблеме Гольдбаха.
Многие математики в течение нескольких веков пытались доказать гипотезу Гольдбаха (и слабую, и сильную), получая интересные промежуточные результаты, доказывая новые теоремы, но только в 2013 году слабая гипотеза Гольдбаха была доказана перуанскм математиком Харальдом Хельфготтом.
Сильная гипотеза Гольдбаха (бинарная) не доказана до сих пор, то есть проблема Гольдбаха из списка математических проблем, составленного Гильбертом, остаётся нерешённой, несмотря на простоту формулировки и понятность даже учащимся младших классов. С помощью компьютеров проверена справедливость гипотезы Гольдбаха для всех чётных чисел до 4×10^18 (четыре квинтиллиона).
Стоит здесь заметить, что данный пример является хорошей иллюстрацией того, что понятие доказательства в математике отличается от обыденного понятия доказательства. Что в обычной жизни легко «прокатило» бы в качестве доказательства, то в математике доказательством не является. В науке индукция, как вывод на основе частных фактов, вообще не является доказательством. Раз для многих триллионов чётных чисел утверждение справедливо и не найдено ни одного чётного числа, для которого утверждение было бы ложным, то мы можем лишь предположить, выдвинуть правдоподобную гипотезу, что для всех чётных чисел данное утверждение истинно, но доказательством это являться не может.
Первоначально здесь.