#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Приветствую, сообщество Хакнем! По последней информации ЕГЭ по математике профильного уровня состоится 10 июля 2020 года. В этой статье я предлагаю окунуться в мир тригонометрических уравнений и порешать задачи № 13 (С1) из ЕГЭ на тему «Уравнения». Решить само уравнение, я думаю, для 11-классников не составляет труда, трудности возникают при выборе корней уравнения из отрезка, особенно с отрицательными числами. В данной статье я разобрала 2 задачи, с отрезками, содержащими, как положительные, так и отрицательные числа.
Задача 1
Решение:
a) Преобразуем уравнение, применив формулу синуса двойного угла
sin2x = 2sinxcosx, и решим его способом разложения на множители
Итак, мы получили в совокупности 3 корня уравнения:
x = πk
x = 5π/6 + 2πk
x = -5π/6 + 2πk, kϵƵ
Ответ: πk, ±5π/6 + 2πk, kϵƵ.
б) Осталось выбрать корни уравнения, принадлежащие отрезку, для этого используем числовую окружность (мне кажется, это самое сложное для школьников).
Сначала разберёмся — какую часть круга представляет этот отрезок:
5π/2 = 2π + π/2, т.е. это 1 полный круг и ещё четверть круга (2,5π),
7π/2 = 3π + π/2 — это 1 круга и ещё ¾ (3,5π).
На единичной окружности это будут II и III координатные четверти (см. рисунок ниже).
1) при k = 1
x = π, не принадлежит нашему отрезку;
x = 5π/6 + 2π = 17π/6 принадлежит отрезку;
x = -5π/6 + 2π = 7π/6 не принадлежит (если непонятно почему выделите целую часть π)
2) при k = 2
x = 2π, не принадлежит отрезку;
x = 5π/6 + 4π =29π/6, не принадлежит
x = -5π/6 + 4π = 19π/6 принадлежит,
3) при k = 3
x = 3π, принадлежит отрезку;
x = 5π/6 + 6π =41π/6, не принадлежит
x = -5π/6 + 6π = 29π/6 не принадлежит,
При k = 4, 5, 6, …, а также 0 и отрицательных числах все корни не будут принадлежать отрезку.
Итак, вышеуказанному отрезку принадлежат корни: 17π/6, 3π, 19π/6.
Ответ: 17π/6, 3π, 19π/6.
Задача 2
Решение:
а) Преобразуем правую и левую части уравнения, применив формулу косинуса двойного угла и формулу приведения:
Уравнение запишется в следующем виде:
Итак, как и в предыдущем примере, мы получили в совокупности 3 корня уравнения:
x = 2πk
x = 2π/3 + 2πk
x = -2π/3 + 2πk, kϵƵ
Ответ: 2πk, ±2π/3 + 2πk, kϵƵ.
б) Осталось выбрать корни уравнения, принадлежащие отрезку. На единичной окружности это будут I и II координатные четверти (см. рисунок ниже).
В этом задании мы будем брать только отрицательные целые числа, при k= 0 корни уравнения не принадлежат отрезку (можете прикинуть сами).
1) при k = -1
x = -2π, принадлежит нашему отрезку;
x = 2π/3 - 2π = -4π/3 принадлежит отрезку;
x = -2π/3 - 2π = -8π/3 не принадлежит;
2) при k = -2
x = -4π, не принадлежит отрезку;
x = 2π/3 - 4π = -10π/3 не принадлежит отрезку;
x = -2π/3 - 4π = -14π/3 не принадлежит; дальше проверять нет смысла.
Итак, вышеуказанному отрезку принадлежат корни: -2π, -4π/3.
Ответ: -2π, -4π/3.
Надеюсь, моя статья поможет вам при подготовке к экзамену! Удачи!
Вы всегда можете распечатать решение из Дзен или скопировать себе ссылку на статью, а при подготовке к экзамену ещё раз перечитать решение и вспомнить.
Если нашли ошибку или опечатку пишите в комментариях, буду благодарна. И не забывайте подписаться на наш канал. Удачи!
#хакнем_математика (👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике 🥳
Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.
Другие статьи автора в канале:
- Те самые задачи № 1 - 5 ОГЭ по математике с Шинами, которые приводят в ужас девятиклассников