Волшебный способ вычисления квадратных корней без калькулятора

Привет!

Я Саурова Наталья и пишу о том, как я преподаю математику онлайн.

Скажу честно: я удивлена! Сегодня школьников ставит в тупик ситуация, когда нужно быстро прикинуть значение какого-нибудь иррационального числа, например, √2. Корень из двух, Карл!

Не буду рассуждать, кто виноват: школьники или учителя — хочу просто поделиться старым добрым методом для быстрых вычислений. Конечно, речь пойдет не о √2, а о...пусть это будет √7720,17?

Еще раз уточню, что метод старый и добрый как мир. Ну что же, давайте смахнем с него пыль и научимся раз и навсегда быстро находить значения таких страшных квадратов!

Подготовка

Смотрите, первая фишечка. Наш алгоритм работает, только когда у нас четное количество цифр. То есть √7720,17 мы посчитать сможем (6 цифр), а √123,45 уже нет.

Поэтому запоминайте, если после запятой у нас четное количество цифр, мы добавляем ноль перед первой цифрой, как на картинке.

Если после запятой четное количество цифр, добавляем ноль в начале числа.

Если же у нас после запятой нечетное количество цифр, то просто добавьте ноль в конце, как на картинке.

Если после запятой нечетное количество цифр, добавьте в конец ноль.

Решение

Ну что, готовы? :)

Нужно немного порисовать! Рисуем прямоугольник, который будет у нас иметь площадь нашего числа. Напоминаю, что мы выбрали число 7720,17 и хотим найти корень квадратный этого числа.

Итак, вот наш прямоугольник!

Предположим, что площадь этого прямоугольника равна 7720,17 (единицы измерения выберите на ваш вкус :)

А теперь проведем отрезок, который отсечет в этом прямоугольнике квадрат. Смотрите на рисунок.

Проводим отрезок и получаем квадрат.

Ну что, уже догадались, что будет дальше? :)

Квадрат — удобная геометрическая фигура: площадь равна величине стороны в квадрате. Давайте только запишем величину стороны не одним числом, а разделим его на сумму десятков и единиц. Смотрите на рисунок, и все станет ясно.

Запишем значение величины стороны квадрата как сумму десятков и единиц.

Чему равна площадь квадрата? Исходя из рисунка она равна следующей сумме:

Площадь нашего квадратика равна этой сумме.

Мы уже почти у цели. Смотрите, мы можем с уверенностью сказать, что:

Площадь маленького квадрата явно меньше площади всей фигуры.

Таким образом мы можем разделить наше число на 100 и отбросим все, что идет после запятой. Мы можем это сделать, так как ищем приблизительное значение! Тогда:

Ищем приблизительное значение, поэтому с чистой совестью отбрасываем цифры после запятой.

Теперь мы подбираем наибольшее целое значение А. В нашем случае,
А = 8. Возводим 8 в квадрат и немного посчитаем в столбик, чтобы найти оставшуюся площадь:

Находим оставшуюся площадь фигуры.

Подставим 8 в наш исходный рисунок.

Подставили найденное значение в наш исходный рисунок.

Ну что же, давайте найдем теперь оставшуюся площадь! Исходя из рисунка:

Ищем оставшуюся площадь.

Ищем B методом подбора. Да, not rocket science, но мы же ищем ПРИБЛИЗИТЕЛЬНОЕ значение! Похоже, что B = 7:

Подставляем подобранное значение B в формулу...да, похоже на правду!

Теперь вычитаем вычисленное значение площади из нашей общей площади:

Ищем площадь оставшегося куска фигуры...

Почти у цели! Мы дошли до запятой, а значит теперь мы снова строим аналогичный прямоугольник, только теперь площадь прямоугольника будет в 10 раз меньше: 772,017.

Мы уже нашли значение A, производя вычисления выше, а именно: A = 87!

Уже вычислили выше, A = 87!

Здесь можно и остановится, так как приблизительный ответ мы уже нашли: √7720,17 ≈ 87! Смотрите, как просто!

Хотите добавить точности? Что ж, можно!

Ведь B — это будет цифра после запятой. Давайте найдем B:

Ищем цифру после запятой, B — это и будет первая цифра!

Подбором находим B = 8.

Итак, наш окончательный ответ:

Наш окончательный ответ!

Вы уже поняли, что мы можем высчитать столько цифр после запятой, сколько хотим. Вопрос: надо ли? Часто нет. Хватит и целого числа.

Но чтобы потренироваться и набить руку, посчитайте √2419,5 :)

А мы потом сравним ответ!

Текст: Наталья Саурова