Способ наименования и записи чисел принято называть системой счисления. Наиболее привычной для нас и общепринятой является позиционная десятичная система счисления.
Чтобы лучше её понять, необходимо познакомиться с другими системами.
Все системы счисления разделяют на две большие группы: позиционные и непозиционные. Проще начать знакомство с непозиционной системы, чтобы в дальнейшем было легче воспринимать понятие позиционной системы.
Самым простым способом записи натурального числа является изображение его с помощью соответствующего количества черточек и палочек. Этим способом пользовались все народы в глубокой древности. Очевидно, что таким способом можно записать только небольшое число — в пределах 20.
Следующим шагом было изобретение специальных знаков для обозначения чисел. Этим древние люди попытались уменьшить громоздкость записи чисел с помощью палочек и черточек. Интересно, что почти во всех системах единичка напоминает простую палочку. Это сходство сохранилось и до сегодняшнего дня.
В непозиционной системе счисления каждый знак, употребляемый для записи чисел, или, как мы сейчас говорим, каждая цифра, всегда означает одно и то же число.
Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе счисления роль цифр играют буквы латинского алфавита.
Чтобы уменьшить число знаков, требуемых для записи какого-либо числа, в римской системе было введено следующее правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются, а меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Следует отметить, что очень неудобны и сложны в непозиционной системе арифметические действия, невозможно записывать дробные и отрицательные числа, а также для записи больших чисел приходится вводить новые цифры и всегда находятся числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными цифрами.
Поэтому нет ничего удивительного в том, что римская система была быстро вытеснена позиционной. Запись чисел римскими цифрами применяется теперь очень редко и только в тех случаях, когда не требуется выполнять над числами арифметические действия, например, для обозначения исторических дат, для нумерации глав в книгах, в декоративных целях — циферблат часов и т. п.
В Средневековье на землях, где проживали славяне, пользовались кириллической азбукой, была распространена система записи чисел на основе этой азбуки. К тому времени употребляли славянскую нумерацию, состоявшая из 27 букв кириллического алфавита. Над буквами, обозначавшие цифры ставили отметку – титло. В начале XVIII в. вследствие реформы, внедренной Петром I, произошло вытеснение из обихода славянской нумерации, хотя в книгах русской православной церкви она используется до сегодняшнего дня.
Самой популярной системой кодирования оказалась позиционная десятичная система. В этой системе значение цифры в числе зависит от её места (позиции) внутри числа.
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека — слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная.
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число — 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод — числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (710=1*20+1*21+1*22), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 — в любой системе счисления 0.
В ЭВМ десятичные числа представляются в двоично-кодированной форме, в связи с чем их достаточно часто называют двоично-десятичными числами. (см. Раздел 2). В современных ЭВМ для кодирования десятичных цифр используется код 8421, который характеризуется естественным представлением десятичных цифр с помощью двоичной тетрады. Такую систему счисления называют двоично-десятичной системой счисления.
Подводя итог, хочется сказать, что главную роль при создании первых счетных приборов, например, абаков и арифмометров, прообразов современных компьютеров, а, в дальнейшем, и самих современных компьютеров, сыграли именно системы счисления.