Сегодня мы вновь прогуляемся к месту прилунения «Аполлона-14» и снова взглянем на фотографию Земли и Венеры над лунным модулем. На одной из прошлых астрономических прогулок мы проверяли, смогла ли НАСА изобразить Венеру на правильном расстоянии от Земли; на другой мы выясняли, правильный ли размер самой Земли. Теперь же мы попробуем понять, угадала ли НАСА с фазой Земли; иными словами, правильной ли толщины на снимке земной серп. Пойдём вместе измерять, считать и обличать проверять!
Первая задача перед нами — определить внутреннюю границу серпа. Как мы уже знаем, фокусировка камеры была около 5 метров, поэтому изображение Земли немного размыто. Но есть ещё одна проблема: если внешняя граница Земли довольно чёткая (неопределённость вносит только толщина светлой части атмосферы порядка 10 километров), то внутренняя граница серпа определяется шириной участка атмосферы, пронизанной косыми солнечными лучами, к которой добавляется радиус солнечного диска (около 0,25 градуса). И эта граница совсем не резкая. Давайте посмотрим, как она выглядит на снимке высокого разрешения.
В результате серп оказывается шире, чем он был бы в отсутствие атмосферы (так же и рога серпа простираются дальше). Попробуем оценить, насколько.
Предположим по-прежнему, что атмосфера остаётся светлой вплоть до высоты 10 километров. Значит, если с этой высоты Солнце ещё видно над горизонтом, то атмосфера будет освещена. Дальность горизонта можно оценить по формуле d² = 2*R*h, где R = 6371 километр — радиус Земли, h — высота над поверхностью. Для высоты 10 километров получим d ≈ 360 километров. Радиус солнечного диска добавит к этому ещё (0,25/360)*40 000 ≈ 30 километров (40 000 — периметр земного шара в километрах), но мы пренебрежём этой небольшой величиной. Пренебрежём также небольшими поправками на рефракцию. На Земле в этой полосе шириной несколько сотен километров Солнце уже зашло, но небо ещё довольно светлое: это так называемые гражданские сумерки (на самом деле полоса гражданских сумерек ещё шире).
Таким образом, светлый участок на поверхности Земли примерно на 360 километров заходит за линию терминатора (граница раздела дня и ночи), какой она была бы в отсутствие атмосферы. Как мы увидим вскоре, этот участок на снимке «Аполлона-14» повёрнут к наблюдателю примерно на 45 градусов, поэтому его ширина его проекции на снимке близка к 360*cos(45) ≈ 255 километров, или 255/6371 ≈ 0,04 долям земного радиуса. Так как радиус Земли на снимке близок к 75 пикселям, мы должны провести терминатор примерно на 75*0,04 = 3 пикселя дальше видимой границы серпа. Ещё один пиксель добавим для учёта размытия.
Поставим вдоль внутренней границы серпа четыре точки с соответствующим отступом, на них мы будем ориентироваться. Определим также окружность с размером, равным радиусу Земли.
Вспомним теперь, как образуется внутренняя форма серпа. По сути, это поперечное сечение планеты по терминатору, повёрнутое к нам под углом, равным углу между Солнцем и планетой. Окружность, рассматриваемая под углом, превращается в эллипс, его эллиптичность (отношение малой полуоси к большой) равна косинусу этого угла.
Зальём всю Земли по окружности и сожмём эту окружность так, чтобы полученный эллипс касался отмеченных точек.
Как видим, эллиптичность составляет около 0,719. Значит, измеренный угол на снимке arccos(0,719) = 44,0 градуса. Ошибка в 1 пиксель изменит эту величину примерно на градус. Но точнее промерить трудно: внутренняя граница серпа слишком размыта, поверхность и вовсе не видна из-за большой экспозиции.
Какой же был угол между Землей и Солнцем в месте посадки «Антареса» на самом деле? В этом нам поможет уже знакомый калькулятор эфемерид HORIZONS. Извлекаем из него азимут и возвышение Земли и Солнца в момент, когда астронавт Шепард сделал фотографию (6 февраля 1971 года, примерно 12:07 GMT):
Теперь немного колдовства со сферической тригонометрией: sin(66,5096)*sin(23,8882) + cos(66,5096)*cos(23,8882)*cos(94,6353-88,5808) = 0,7339. Наконец, арккосинус даст нам угловое расстояние между Землёй и Солнцем: arccos(0,7339) = 42,8 градуса.
Таким образом, измеренный по снимку угол между Землей и Солнцем оказался на 1,2 градуса больше действительного. Это согласуется с ошибкой измерения примерно в 1 пиксель: примерно такой (или немного большей) погрешности и следовало ожидать. А значит, серп Земли на снимке как раз такой, какой и должен была быть в момент съёмки. Изобличить НАСА и тут не удалось.
Мы ещё вернёмся к этой фотографии: прогулки лунной ночью под серпом Земли могут быть не только увлекательны, но и познавательны.
На очередной экскурсии к месту посадки «Антареса» вас сопровождал El Selenita. До новых встреч на Луне!