Задание 8 в профильном уровне ЕГЭ по математике проверяет базовые знания стереометрии. Задания в этом разделе простые, на базовые формулы — обычно на объемы простых стандартных фигур — цилиндра, куба, пирамиды, конуса.
Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.
За правильное выполненное задание получишь 1 балл. На решение рекомендуется отводить примерно 5 минут.
Пример 1. Во сколько раз увеличатся площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?
Решение. Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
Ответ: 8.
Пример 2. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что CA1 = 2A1D1. Найдите угол между диагоналями BD1 и AC1. Ответ дайте в градусах.
Решение. Для решения нам понадобится свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда и определение правильной призмы. Пусть A1C и AC1 пересекаются в точке O. Так как правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, а диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, то
AC1 = A1C = 2A1D1, то есть A1D1 = 1/2 AC1.
По свойству параллелепипеда так же получим, что O – середина диагоналей призмы, то есть OC1 = OD1 = 1/2 AC1.
Так как у правильной призмы все рёбра основания равны, то A1D1 = C1D1. поэтому C1D1 = 1/2 AC1.
Тогда C1D1 = 1/2 AC1 = OC1 = OD1.
Значит, треугольник OC1D1 равносторонний, и получаем, что угол
C1OD1 = 60 градусов.
Ответ: 60.
Пример 3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в см.
Решение. Определим площадь основания первого и второго сосудов. Площадь основания первого сосуда определяется формулой
Диаметр второго сосуда в 2 раза больше. Значит площадь основания его равна
то есть в 4 раза больше:
Запишем формулы объема жидкости в каждом сосуде
Так как объем жидкости остается постоянным, можем приравнять правые части:
Убираем одинаковые величины. Отсюда
Ответ: 4.
Читайте также: Задание 1, Задание 2, Задание 3, Задание 4, Задание 5, Задание 6, Задание 7, Задание 9.
Также можете воспользоваться услугами репетитора.