В задании 7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.
За это задание можно получить 1 балл. На решение рекомендуется 5 минут. Уровень сложности: базовый. Средний процент выполнения: 61.5%
Вспомним геометрический и физический смысл производной.
Геометрический смысл производной. Производная — это скорость изменения функции. Производная функции f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной f'(x0) = tg a = k.
Физический смысл производной. Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени. Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
Пример 1. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Решение. Рассмотрим график функции. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает. Рассмотрим поведение функции в каждой из точек и знак производной в них. В тех интервалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения. В этих интервалах лежат точки x3, x4, x5, x9. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Пример 2. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение. Пусть угол, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс, равен а, а угловой коэффициент касательной равен k т.е. k = tg a. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке, т. е. равно тангенсу угла a. Из построенного прямоугольного треугольника находим y' = tg a = 9/6 = 1,5.
Ответ: 1,5.
Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
Решение. Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени t = 3 получим:
Ответ: 3.
Читайте также: Задание 1, Задание 2, Задание 3, Задание 4, Задание 5, Задание 6, Задание 8, Задание 9.
Также можете воспользоваться услугами репетитора.