Было это давно. Ехали мы с отцом в Ленинград поездом. В одном купе с нами ехал пожилой человек – так мне тогда показалось. Теперь я уже старше того человека. Как в таких случаях бывает, завязался обычный дорожный разговор.
— Какой предмет в школе у тебя любимый?
— Математика.
— Хорошо. А какие успехи у тебя в математике?
Я ответил, что получаю "четвёрки" и "пятёрки", что в своём городе Нелидово занял первое место в олимпиаде по математике.
— Молодец. Ну-ка я задам тебе задачку.
Он взял бумагу, сделал рисунок.
— На одной стороне острого угла взяли точку A, из неё провели перпендикуляр AB к другой стороне угла. Из точки B провели перпендикуляр BС к первой стороне угла. Из точки C провели перпендикуляр СD ко второй стороне угла… Как долго можно проводить такие перпендикуляры?
Я ответил, что бесконечно долго.
— А теперь задание: измерь длину этой бесконечной ломаной ABCD… Можешь делать любые дополнительные построения.
У меня не нашлось решения, сбивала мысль о бесконечном числе звеньев ломаной, у которой конечная длина. Как я теперь понимаю, задачу мне задал учитель математики. Вскоре ему уже надо было выходить на своей станции, и он, видя, что я расстраиваюсь от неудачи, сказал:
— Ну, давай покажу… И показал решение задачи.
Когда мы вернулись домой, я принёс задачу учителю математики и директору нашей школы-интерната Соловьёву Владимиру Климовичу.
— Саша, это известная задача, но я не смогу показать тебе её решение, так как ты ещё не изучал тригонометрии… Тогда я показал ставшее мне известным решение старого учителя. Тут я с удивлением обнаружил, что Владимир Климович не знал его. Тогда эта мысль сильно поразила меня, а теперь, отработав 44 года в школе, просидев на пенсии 4 года, постоянно занимаясь математикой, я обнаруживаю много такого, чего я не знал раньше. Много позже я нашёл эту задачу в сборнике задач по алгебре (или по тригонометрии), но то была задача на вычисление длины ломаной по величине угла и расстоянию от точки A до вершины угла.
Какое построение выполнил старый учитель, чтобы измерить длину ломаной?
Дополнение от 01.06.2020. Дорогие друзья, спасибо за отклики, писать замечания под предложенными решениями - не выход. Помещаю решение, известное мне от старого учителя. Я вставил эту задачу в книжку "Школьная математическая олимпиада. Задачи и решения". (М.: ИЛЕКСА, 2008). Вот оно (буквенные обозначения другие).
В комментариях показано небольшое упрощение этого решения: отрезок OP можно не строить, взяв равный ему отрезок MT. В решении используются только признак параллельности прямых и свойство параллелограмма.