Информатика на пальцах | Системы счисления

Краткий конспект понятным языком с примерами. Перевод из одной системы в другую, сложение в любой СС. Вся тема в одной статье.

Система счисления (СС) — метод представления чисел с помощью символов.

I. Классы систем счисления (СС)

Непозиционная СС — количественный эквивалент цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

• Пример: трехразрядное римское число XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Позиционная СС — количественный эквивалент цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

• Пример: «арабское» трехразрядное число 333 = 300 + 30 + 3

В средневековую Европу «арабскую» СС принесли арабы, поэтому с XVI века она всем известна под таким названием, несмотря на то, что арабские цифры произошли от индийских символов для записи чисел. Именно в Индии в V веке было формализовано понятие нуля («шунья»), которое позволило перейти к позиционной записи чисел.

II. Десятичная СС

• Емкость разряда: 10 (вмещает любую цифру от 0 до 9)
• Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Полная запись числа на примере десятичной СС

Запомни

1. Перевод из десятичной в N-ную СС осуществляется делением.
2. Перевод в десятичную СС осуществляется полной записью числа.
3. Для перевода из M-ной в N-ную СС необходимо вначале перевести M-ную в десятичную систему счисления, затем из десятичной в N-ную.

Если вы запомните всего три общих правила, то вам не нужно будет запоминать работу с каждой СС в отдельности.

III. Примеры N-ных СС

Ниже будут рассмотрены примеры самых популярных систем счисления и работы с ними, но помните, что система счисления может быть любой!

Двоичная СС

• Емкость разряда: 2 (вмещает любую цифру от 0 до 1)
• Алфавит: 0, 1

Сверху: перевод из двоичной в десятичную СС. Снизу: перевод из десятичной в двоичную.

Восьмеричная СС

• Емкость разряда: 8 (вмещает любую цифру от 0 до 7)
• Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Сверху: перевод из восьмеричной в десятичную СС. Снизу: перевод из десятичной в восьмеричную.

В «арабской» СС всего 10 цифр (от 0 до 9), поэтому в системах счисления выше десятичной приходится прибегать к буквам, чтобы не уходить от правила «один разряд — один символ». При этом буква «A» соответствует десятичному числу 10, «B» числу 11 и т.д.

Шестнадцатеричная СС

• Емкость разряда: 16 (вмещает любую цифру/число от 0 до F)
• Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Сверху: перевод из шестнадцатеричной в десятичную СС. Снизу: перевод из десятичной в шестнадцатеричную.

IV. Сложение (взрослый разговор)

Для сложение чисел необходимо, чтобы они находились в одной СС. Ниже будет теоретическая выкладка, если вы сможете понять ее, то сможете считать в любой системе счисления как в своей родной.

Еще с первого класса мы знаем, что 9 + 3 = 12, но для ясности мыслей рассмотрим этот пример в теории систем счисления.

Учимся складывать 9 + 3 (будет сложно)

Дано:

• десятичная цифра 9, занимающая 1 разряд
• десятичная цифра 3, занимающая 1 разряд

Нужно найти:

• Сумма этих цифр

Теоретическое решение:

Мы не можем уместить сумму этих цифр (12) в первый разряд, следовательно нам необходимо перенести некоторое количество суммы на второй разряд.

Сколько нужно перенести?

Единица второго разряда в десятичной СС соответствует числу 10, этого будет достаточно, потому что остаток от разницы нашей суммы и единицы второго разряда (12 - 10 = 2) уже сможет вместиться в первый разряд.

Таким образом, во втором разряде мы получаем 1, а в первом разряде остается остаток (12 - 10 = 2).

Запишем последовательно эти две цифры (разряды считаются справа налево), получим число: 12.

Наглядное решение столбиком:

Ответ: 12.

Учимся складывать 9 + 3 (апельсиновое решение)

Дано:

• 1 тип: коробка на 10 апельсинов (соответствует емкости разряда)
• 2 тип: коробка на 10 заполненных коробок 1 типа
• 3 тип: коробка на 10 заполненных коробок 2 типа и т.д.

Условие:

заполненная коробка сразу перемещается в коробку следующего типа!

Нужно найти:

• количество коробок для размещения 12 апельсинов

Как мы видим, чтобы разместить 12 апельсинов нам требуется две коробки 1 типа. После размещения у нас будет одна заполненная коробка, а в другой 2 апельсина. Но заполненная коробка по условию должна сразу быть перенесена в коробку второго типа, в которой окажется заполнена всего одна ячейка. Следовательно мы имеем:

• коробка 1 типа (1 шт.) — внутри 2 апельсина
• коробка 2 типа (1 шт.) — внутри 1 коробка

Разместим коробки в порядке убывания типа, получаем: 12.

Ответ: 12.

Сложение в двоичной СС (пример)

При сложении двух единиц первый разряд заполняется полностью, что означает его обнуление и +1 к следующему разряду, третий остается без изменений.

Сложение в восьмеричной СС (пример)

смахни в сторону, чтобы увидеть сложения этого примера подробнее

Сложение в шестнадцатиричной СС (пример)

смахни в сторону, чтобы увидеть сложения этого примера подробнее

Если статья вам понравилась, то вы можете поддержать автора статьи лайком и подпиской! ☺️