О свойствах функции говорят с момента начала их изучения и до Егэ ,а возможно и дальше. Приходится смириться ,что от них не уйти ,а эта статья поможет в них разобраться. Приятного чтения:)
Определения:
1) Функция называется возрастающей на множестве X принадлежащем D(f) ,если для любых точек a и b таких ,что a>b, верно неравенство f(a)>f(b).
Теперь по-нормальному: Функция называется возрастающей на множестве X принадлежащем D(f) ,если точке с большим X соответствует больший Y на всём промежутке функции. То есть функция стремится в право вверх. Например:
2) Функция называется убывающей на множестве X принадлежащем D(f) ,если для любых точек a и b таких ,что a>b, верно неравенство f(a)<f(b).
Функция называется убывающей на множестве X принадлежащем D(f) ,если точке с большим X соответствует меньший Y на всём промежутке функции. То есть функция стремится в право вниз. Например:
Данная парабола на промежетке (-∞;0] убывает ,а на промежутке [0; +∞) возрастает.
Часто термины "возростающая и убывающая" функция заменяют на монотонная функция.
3)Функция называется ограниченной снизу на множестве X принадлежащем D(f) ,если все значения функции больше некоторого числа m. Для любого числа a выполняется неравенство: f(a)>m.
То есть мы видим ,что функция идёт с одной точки ниже которой мы не имеем ни одной точки функции.
4)Функция называется ограниченной сверху на множестве X принадлежащем D(f) ,если все значения функции меньше некоторого числа m. Для любого числа a выполняется неравенство: f(a)<m.
Парабола ограничена на всей области определения снизу или сверху ,поэтому при описании ограниченности мы не указываем никакое множество ,но значение "ограниченность" применяют и к конкретным множествам.
Функция называется ограниченной ,если она ограничена и сверху ,и снизу.
5)Число m называют наименьшим значением функции Y=f(x) на множестве X принадлежащем D(f) ,если:
а)Точка m принадлежит множеству X так ,что f(x)=m.
b)для любого значения х принадлежащего X ,где Х множество значений функции, выполняется неравенство:
f(a)> f(m)
6)Число m называют наибольшим значением функции Y=f(x) на множестве X принадлежащем D(f) ,если:
а)Точка m принадлежит множеству X так ,что f(x)=m.
b)для любого значения х принадлежащего X ,где Х множество значений функции, выполняется неравенство:
f(a)<f(m)
Наибольшее и наименьшее значение существуют лишь тогда ,когда функция ограничена сверху или снизу соответственно.
7) До десятого класса понятия о непрерывности и выпуклости принято определять на глаз ,но даже полностью узнав определение многии всё равно ориентируются на глаз ,поэтому разъяснять в этой статье такое понятие не буду.
8)Чётной функцию называют ,когда для любого значения x выполняется равенство:
f(-x)=f(x)
Проше говоря, когда У любой точки остаётся неизменным ,если поменять знак х на противоположный ,тогда функция называется чётной
График чётной функции симметричен оси Oy.(осевая симметрия.)
9)Нечётной функцию называют ,когда для любого значения x выполняется равенство:
f(-x)= -f(x)
Когда У любой точки меняет свой знак ,если поменять знак х на противоположный ,тогда функция называется нечётной ,а её график симметричен относительно начала координат.(центральная симметрия)
Доказать ,что Y=X^3 нечётная, очень просто.
Пусть m некая точка лежащая на функции Y=X^3 ,тогда:
f(m)=m³ , f(-m)= (-m)³ = -m³
Значит f(-x)= -f(x). => функция нечётная.
Также нечётными функциями являются х⁵ ,х⁷ ,х⁹ и т.д
Если ли у функции вида y=xⁿ n -- нечётное число ,то функция нечётная ,а если наоборот ,то чётная.
И у чётной ,и у нечётной функции область определения -- симметричное множество.
10)Функция с несимметричной областью определения называется "ни чётной ,ни нечётной". Также "ни чётной ,ни нечётной" функцией называется функция ,которая не подходит под оба приведённых неравенства. Кусочная функция часто является "ни чётной ,ни нечётной".
На этом статья завершена. Это были все не специфические свойства функции.