Исчисление. Натуральный вывод.
Теперь, когда мы познакомились с основами логики высказываний, мы можем перейти к прагматической её части, а именно к исчислению(алгоритму решения задач) в натуральном выводе(дедуктивное мышление).
Есть два способа использования дедукции:
1. Выводить самому.
2. использовать уже заготовленные законы .
Многих безусловно интересует возможность выводить так же как это делает герой книги и кино - Шерлок Холмс.
Для этого сначала обратимся к правилам натурального вывода:
Рассматривать примеры начнем с первого пункта:
пример:
Неверно, что Глеб вышел гулять, но я вышел гулять. Известно, что гулять выйдет Глеб или Ваня(может быть и оба).
Сформулируем эти предложения в логике высказываний:
ㄱp&q; p⋁r ⊨ ? ( ⊨ означает "следовательно")
теперь начнем доказывать:
1. ㄱp&q -посылка
2. p⋁r -посылка
3. ㄱp -&и:1 (так как в конъюнктивном предложений оба члена верны, то согласно правилу нат. вывода мы можем точно сказать, что каждый член верен, потому мы просто выделяем простое предложение из состава сложного конъюнктивного,указывая на него(":1"-означает "из пункта 1"))
4. r- ⋁ и:2,3(так как дизъюнктивное предложение истинно когда и когда один член истинен, и когда оба, то точно сказать о том, что же истинно, мы можем только тогда, когда узнаем, что один член все таки не верен, потому что если оба были бы не верны, то все предложение не верно)
Таким образом, мы смогли вывести утверждение r, которое означает, что на улицу вышел гулять Ваня.
Но, используя нат. вывод, можно так же выводить и доказывать логические законы, которыми можем использовать в дальнейшем.
Например:
Мы хотим доказать выводимость такой теоремы:
((p & ㄱ q) ⊃ ㄱ (p ⊃ q) )
то есть мы хотим доказать, что какое бы значение не принимали пропозициональные переменные p и q, мы всегда из утверждения
((p & ㄱ q) сможем сделать вывод, что ㄱ (p ⊃ q) ) .
Чтобы это доказать, нам ,очевидно, для начала нужно допустить
((p & ㄱ q), как если бы оно было посылкой.
+1. ((p & ㄱ q) (+ означает "допущение")
Затем мы должны показать, что никогда не будет верно импликативное предложение p ⊃ q (если p, то q). Для этого мы допустим, что оно верно и будем искать противоречие.
+2. (p ⊃ q) )
3. p-&и:1
4. ㄱ q-&и:1
5. q- ⊃ и:2,3
6. ㄱ (p ⊃ q) ) - ㄱв:4,5 (мы, по факту, говорим, если бы такое импликативное предложение было бы верно, то мы бы тогда получали q, что противоречит с нашей абстрактной посылкой в виде пункта 1)
Таким образом, каждый раз, когда мы будем сталкиваться с предложением вида ((p & ㄱ q) , можем уже заранее сделать вывод, используя эту теорему или же строить вывод на месте.
Конечно, логика высказываний и тем более логика в целом не исчерпываются такими примитивными примерами, все намного сложнее и интереснее, однако моя цель была ввести вас в курс дела, как мыслит знаменитый Шерлок Холмс (он просто делает это очень искусно в фильмах и книгах), а так же как должны мыслить ученные, да и все образованные люди.
